在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践

莫兰

我们回到12个孩子围成的圈。让另一个孩子绕着圈走，同时展开一根绳子，每逢第四个孩子抓住这根绳子，立刻我们有了一个漂亮的三角形。同样，如果每逢第三个孩子抓住绳子，我们可以很轻松地创造出正方形（四边形）。4和3，3和4——很好记！

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如果有两根绳子，我们可以用两个三角形组成一个六角星。先拉出一个三角形，把这个三角形放在地上，拉出第二个三角形。把两个三角形都举到同样的高度，六角星出现了，它有一种不同寻常的美！然后我们可以做一个注意力练习，让孩子们将六角星旋转一圈。在这过程当中，大厅里一片寂静。六个没有抓绳子的学生可以后退一步，作为圆圈中的标记点。其他所有学生在努力地以同样的步伐旋转，让绳子保持在紧绷的状态，直到回到起点。作为圆圈标记点的孩子们现在也要一显身手了，这是一个很艰巨的任务：他们要跨过六角星而不将其破坏。这个任务可以由三年级的孩子来完成。

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这是一个严肃的游戏，从中可以学到很多东西。六角星的外围有六个小的三角形，理想状况下，这个六个三角形应该是相等的。同时他们彼此之间应该构成一种特定的关系。在转圈的过程中，六角星的形状在不停地变化，为了纠正任何错误，孩子们都必须意识到邻居的位置。在这样的练习中，通过观察和判断，学生们锻炼了实际的数学技巧，而这可以为今后思维层面的数学能力打下真正的基础。

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让绳子始终保持紧绷的状态是一件很难的事情。这需要密切的合作，需要随时观察三角形中另外两个人的动作。这本身就是一件很有价值的事情。可能会有一根绳子总是松弛着垂挂下来，于是三角形不复存在。为了让孩子们的手感受到应该如何做，几天之后可以给他们三根长木棍来构成三角形。木棍代替了绳子，孩子们意识到，现在三角形稳定了，不会再发生任何变形。同样的手比较着两种截然不同的体验，提前好几年就“懂得”了与三角形有关的许多知识，例如三角形的结构、全等三角形以及木匠为什么要在屋顶的椽木间钉上一根对角斜梁。
（36页图）三角斜梁可以使屋顶免于倒塌。

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对于低年级孩子来说，上述这些练习可以无止尽地补充下去。有人可能会问，这些练习真正触及的是数字世界的哪一部分？比如说我们有基数和序数之分，基数5可以用5个苹果来说明，而为了说明序数5，则可以指着一个苹果——它是一排苹果中的第五个，我们通过数数到达了这个苹果。
（37页图）无论好坏，这就是智慧之果。

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至今为止我们所讨论的数字既不是基数也不是序数。基数和序数的特征始终存在于这些数字之中，但从根本上来说，这些数字存在于一个全然不同的层面上。

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当我们说5是一个质数时，我们已经接近了数字5的这一层面。质数这一特征完全不取决于我们用5来表示量还是表示顺序。它的邻居6不是一个质数，而是一个完全数。两者都传达出一种特别的感觉，一种个体的身份，这种感觉与6比5大1这一事实无关。5是一个质数，这是属于它本身的一些东西。上面我们讲到苹果，如果我们把一个苹果切成两半——不是像我们分享苹果时那样切，而是拦腰横着切开——我们也会体验到这一点。如果你以前从未这样做过，现在你可以试一试，对于数字5的特质，你会有稍微多一些的理解。苹果是智慧树上的果实，多年来人们一直用苹果来阐释序数和基数的概念。老师会说：“就拿5个苹果为例……”然后解释这两种数字。这是一件很自然的事情，是一个传统。但是老师总是忘记在事后把苹果切成两半，看一看5这个数字的真正内核。在最深的内在，5既不是基数，也不是序数，而是一种活跃的力量，这种力量本身就能创造出基数和序数。

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我们需要找到一个词来描述数字中“质”的这一面。除了基数和序数，也许我们还应该拥有“精神数”、“本质数”、“个体数”或……我们该如何称呼？
（39页图）拦腰切开的苹果——我们几乎不敢再去吃它！

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所有早期的数学都传递出与这种数字有关的信息，正因为此，我们的孩子必须以这样或那样的方式体验数字中质的方面，因为孩子的内心深处有一种需要，我们可以称之为“历史需要”。这并不是说孩子们有学习历史的需要——他们也有这种需要——而是指他们需要用自己的眼睛清晰地看到周围环境中那些对于以前的文化时期来说十分重要的方面。丹麦“蓝皮书”（见第一章“导言”部分）认为，公立学校的课程内容过多，这是我们大家都不希望看到的，因此某些仅仅为了遵循传统而保留的内容将予以删除。这句话说得很对，但我们很可能会删除过多的内容，以至于在此过程中孩子们的能量之源会遭到破坏。我们需要对这些能量的源头给予特别的关注。当我们读到：“只有彻底删除过时的内容”，才有可能关注到科学研究的快速发展，我们不免有些警惕起来。“蓝皮书”表示，课程修订应被视作一个持续的过程，要不断追求最新理念，随时对课程进行修订（但不应干扰学校的目标——培养自信与和谐）。

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毫无疑问，有许多课程内容的确应该删除，因为它们与孩子的内心没有任何联系。然而，如果认为儿童与成人有着同样的内在心理结构，以此为基础进行课程的删减，那我们就会播下躁动和紧张的种子。如果我们无视儿童成长中的蜕变过程，以及与此相关的对传统的需要，问题就会进一步加剧。

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孩子们对童话故事的喜爱就是这一需求的直接体现。有时候我们会有这样一种印象，与我们用所有聪明才智精心打造的技术世界相比，童话世界更像是孩子们的家。

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在那些古老的神话、传说和童话中，我们能找到真正的养料去喂养前面所说的孩子内心的“历史需要”。由于有这样一种内在需要，从很多方面来说，孩子们更亲近以前的文化时期，而不是我们，因为我们不过是现代文明的一份子。

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童话中经常有一些迹象显示了早期人们对“本质数”的体验，这些数字既不是基数也不是序数，它们体现了数字显现为基数或序数之前其本身所蕴含的创造力。在童话故事中，这类“精神数”比比皆是，有时是两个兄弟，有时是十二只天鹅，有时是东南西北四阵风，有时又是三个姐妹。我们可能会因此而沉迷于数字的神秘性之中，这并无必要，然而即使是在这样一种扭曲的形式中，仍然有一种永恒的内核——我们怀着渴望，用最后的努力紧紧抓住我们内在的一些深层次的东西。

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在下面这个印第安童话中，我们可以体会一下原始数字四。这个故事是关于四兄弟的。问题是，我们想象一下，如果故事里再多一些细节，这四个兄弟是否可以变为五个兄弟？或者，是不是兄弟的个数描述了事物间的一种关系，而这种关系的本质决定了它只能是四维的，如果把四改为三或五，这一主题本身所蕴含的有机的生命就会死去？如果后一种说法是对的，那么这个数字就是我们所说的“本质数”。也许从这样的理解中，我们又为这些数字找到了一个新的名字，那就是“有机数”或“完整数”。这些名字意味着有机整体背后所蕴含的创造性力量。

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狮子故事中的数字四就是这样的一个数字。

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从前，有四个婆罗门的儿子，他们彼此相爱，赤诚以待，因此决定结伴前往邻国旅行，去寻求声誉和财富。

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这四个兄弟中，其中三个已经完成了深入而全面的学习，分别成为了巫术学、天文学和炼金术方面的专家，要知道，这可是神秘科学领域最难的学科。第四个兄弟什么都没有学过，他所拥有的只是健全的理智。

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一天，当他们漫步向前的时候，其中一个博学的兄弟说：“为什么要让我们无知的兄弟利用我们的学识呢？他只能成为我们征途中的负担。王子和国王们不可能看得上他，他只会给我们丢脸。让他回家不是更好吗？”

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但是最大的兄弟回答说：“不，让他分享我们的好运气吧。他毕竟是我们的兄弟，我们总能够给他找一份他能够胜任的工作的，这样他就不会给我们丢脸了。”

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于是他们继续结伴前行。不久，他们来到一个森林里，看见路上散落着狮子的遗骸。这些骨头经过长久的日晒，已经变得十分干燥，而且褪尽了颜色，因此像牛奶一样白，像燧石一样硬。