在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践

莫兰

现在边缘的三角形不太一样了。他们看上去和六边形周围的三角形不同，没有那么美观，坚果也不太容易摆放。很难把坚果摆放得像之前那么整齐，因为所有边并不相等，无法彼此参照。孩子们的手在和这个恼人的问题格斗。他们对于这个问题一无所知，对此我们也不应该做任何讲解，但他们的眼睛和手指发现了这个问题。他们可能会说：“这太好玩了！”老师知道，6~7年以后他们会再次回到这个问题上来。

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现在，再次摆一个四边形。在每两个坚果之间均匀地放上两个坚果。这看上去像一个钟！现在每隔一个坚果就取出一个坚果。看，原来的六边形回来了！再次每隔一个坚果取出一个坚果，这一次三角形回来了。从钟当中我们可以得到四边形和三角形。这是一个重要的发现。排成圆形的12个坚果中蕴含着很多谜。

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现在我们把5个坚果放在圆上，然后在每两个坚果中加入一个，这样就形成了十边形。稍作观察之后，我们决定每隔一个坚果取出一个，连取两轮。第一轮很顺利，但第二轮就不行了。注意到这一点，我们对奇数和偶数就有了一些了解。

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如果我们把16个坚果放在圆圈上——这并不太难——我们可以一连多次每隔一个坚果取出一个。有的孩子会说16是一个非常彻底的偶数。他们以自己的方式理解了什么是“偶数”。相比之下，20的偶数特质就弱得多。
（29页图）16是一个偶数特质很强的数。

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到达倒数第二个图时，很多学生会疑惑是不是还要继续下去——如果只有两个坚果，可以“每隔一个”取出一个吗？

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某一天，可以给每个孩子7个坚果，让他们放在圆圈上。他们立刻发现这和当初摆放5个坚果时遇到的困难是类似的。他们记起，当初老师曾帮助他们躺在地板上，手臂和腿张开，这样他们的四肢和头构成了一个五角星。

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然而7个坚果无法用这样的方式解决，因为我们少了一对手臂。头很好放置，两只脚应该彼此靠近一些，然后我们必须想象我们有一对翅膀。
（30页图）把7个坚果放在圆圈上并不容易

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最后我们插上双翼的人体落入合适的位置，一个美丽的七边形出现了。如果我们试图每隔一个坚果取出一个，我们会再次发现这行不通。我们只好满足于首先用手指，然后用铅笔去跟踪每隔一个坚果取出一个坚果时所应走过的路径。这时一些令人激动的东西出现了。
（31页图）我们将相隔一个坚果的每对坚果连接起来。

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如果我们每次移到相隔两个坚果的那个坚果，所出现的情景就更加令人激动了。
（31页图）我们将相隔两个坚果的每对坚果连接起来。

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这有些困难，但显然值得去做。

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我们来用同样的方式体验八边形。我们既可以让两个正方形构成星形，也可以用一条不中断的线画出八角星。

（32页图）

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九边形也是如此。可以用三个三角形构成星形，也可以用一条不中断的线画出九角星。
（32页图）

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在十边形中，可以有两个五角星，也可以用一条连续的线画出十角星。
（33页图）

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因此我们体验到，五角星和七角星只能用一根连续的线画出。如果我们继续研究其他多边形，我们会发现11边形和13边形也是如此。为什么会这样呢？

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以后孩子们会学习与此有关的更多内容，但此时他们已经接触到了与质数有关的诸多问题。

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六角星也是一个特殊的例子，因为它无法用一条连续的线画出，而是必须由两个三角形构成，一个朝上，一个朝下。

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犹太人认为六角星很特别，这绝非偶然。对于他们来说，六角星有深刻的象征含义。然而，我们在这里关心的只是使得六角星有别于其他星形的数学特质。

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在做这些坚果游戏的同时，我们还要在大厅里做一些游戏。大厅应该大到能够让所有孩子手拉手围成一个圈。或者也可以让一半学生围成圆圈，因为让旁观者和游戏者互换角色也很重要。

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我们让12个学生围成一个圈。现在，如果每逢第二个学生向前跨出一步或坐下，整个图景立刻就不一样了。如果每逢第三个学生向前跨出一步，我们会辨认出之前的正方形。如果每逢第四个学生向前跨出一步，我们就有了一个三角形。在12个人围成的一个圈里，所有这些都以一种美妙的方式进行着。但如果每逢第五个人向前跨出一步，我们会发现这行不通。12和5没有太多的共同点。如果每逢第六个人向前跨出一步，也有一些东西产生，但没有那么激动人心。

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这样一来，我们发现数字以特殊的方式彼此相属。如果圆圈中有13个人，就无法做到每逢第三个人或每逢第四个人向前跨出一步，同样每逢第五个人也行不通。但如果圆圈中有15个人，却可以每逢第五个人向前跨出一步，此时出现的是一个多么漂亮的三角形啊！15、5和3彼此非常协调。