“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

运动轨迹的圆周上某一点（x, y）的导数，是什么呢？
恰好是该点的速度（速度方向是圆周上该点的切线方向）。

这个速度的方向恰好是圆周上这个点的切线方向。
这个切线恰好垂直于该点的半径（也是该点对应的向量），
这个切线相当于该点的半径正向（逆时针）旋转了90度(π/4)。

于是，可以直接“看”出 x, y 这一点沿横轴和纵轴两个方向上的分速度（即导数）。

x' = cos'(t) = cos( t + π/2)
y' = sin'(t) = sin( t + π/2)

这说明，正向匀速（1弧度/秒）单位圆周运动的速度（切线，导数）函数，也是一个圆，
而且，恰好比原函数（轨迹函数）提前了四分之一圆周——90度。

学父五迁

在场论中，上述场景是一个颇为高级的概念 -- 向量场中的导数。
何谓“向量场”？
这个概念非常简单。

普通的函数关系中，函数值一般都是一个标量。这种函数关系所在的场叫做数量场。

如果函数值不是一个标量，而是一个拥有多个分量（多个维度）的向量，这种函数关系所在的场就叫做向量场。

那两个参数方程中的导数，并非偏导数，而是两个方向（维度）上的分量函数各自的导数。

偏导数是数量场中的概念。
一个多元函数的函数值是一个标量。
该函数值对于某个分量变量的变化率，就称为该分量（维度）上的偏导数。

在变量的维度（分量或变量的个数）上，数量场和向量场都可能是多元（多维）的。
但是，在函数值的维度上，数量场的函数值是一个标量（只有一个分量），
向量场的函数值是一个向量（多个分量）。

当然，向量场的函数值的每个分量函数，函数值都是标量，每个分量函数都是一个数量场。

学父五迁

高中和大学的课本中的公式中是怎么写的？

cos'(t) = -sin(t)
sin'(t) = cos(t)

课本中的这个形式和上述结果是一致的，只需要转换一下即可。
但是，课本中的形式，在记忆难度上就大了许多，因为不仅是函数名变了，还有正负号参与其中。

学父五迁

这里给出的正向（逆时针）旋转90度（π/2）的形式，十分便于记忆，尤其是求高阶导数的时候。

比如，求上述圆周运动的向心力。
这就是位置函数的二阶导数。
这可以直接看出来。
因为我们已经知道，向心力（向心加速度）的方向正好和半径（向外）的方向相反，指向圆心。

于是，我们可以直接看出来轨迹函数的二阶导数（向心加速度）。

x'' = -x
y'' = -y

即，

x'' = cos''(t) = -cos( t )
y'' = sin''(t) = -sin( t )

学父五迁

这个圆周模型还有一个很大的好处。
可以非常直观地看出，正弦余弦函数的导数，恰好是四阶一个周期，回到了自身。
如果按照课本中的公式，要得到这个规律，还需要稍微想一下。

学父五迁

当然，以上的圆周运动模型只是一个帮助记忆的场景，并非正式的推导过程。

大学课本中给出的推导过程，并不复杂，只有两个技巧。
第一个技巧是正弦函数的和差化积，第二个技巧是“sin(x)/x”的无穷小极限是1。

学父五迁

第二个技巧，“sin(x)/x”的无穷小极限是1，基本上是定性分析，很容易记住。

学父五迁

第一个技巧涉及到和差化积，这是中学就已经掌握的技能。
但是，非常遗憾的是，很多学生高考之前记不住这个公式，高考之后更是忘得精光。

在大多数学生的心目中，三角函数丑不堪言。
如果要从中学数学中选出最丑陋的知识点，那么，三角函数部分肯定在入选之列。

这完全是课本内容安排失当导致的“人为丑化”。

学父五迁

三角函数并不丑，相反，三角函数和一个非常美妙的结构——圆，关系密切，因此，具有很多美妙的性质。
刻画三角函数的最美妙的数学结构，是复数。

复数的一个重大优势在于复数的乘法。
复数的乘法就是旋转。
复数的幂次就是多次等角旋转。

只要看到旋转、尤其是正多边形等角旋转的情况，运用复数结构，准没错。

三角函数中最难记的种种倍角、分角、和角、差角恒等式，运用复数结构，迎刃而解，直接推出，无需记忆。
复数号称是三角函数恒等式的批量制作工厂。

不少辅导数目中运用三角形面积法等几何直观形式，帮助记忆这些三角恒等式。
首先，这种方法能够记忆的三角恒等式极为有限。其次，和复数乘法比起来，在复杂度上也没有优势。

复数，才是三角恒等式批量生产之王！

学父五迁

正弦函数的和差化积，是从正弦函数的和角、差角公式中推导出来。

和角公式，可以轻易用复数乘法推导出来。

差角公式，可以轻易用复数除法（两个复数的除法，其结果的角度，就等于两个复数的角度之差）推导出来。

实际上，差角公式十分重要。
但是，大多数的中学大学课本都忽略了其重要意义。

差角公式有一些极为重要的应用场景。

两个向量夹住的平行四边形的面积，也是向量积——叉积——的模，就是差角公式的直接应用。
因此，一个极有规律的行列式就可以刻画差角公式。

假设两个平面向量，一个角度是a, 一个角度是b。
为简单起见，假设两个向量的模都是1。
两个向量之间的夹角就是 b - a

两个向量夹的平行四面形面积就是 差角 b - a 的正弦。

这个面积是有方向，右手法则，从 a向量 到 b向量。
a 写在第一行或第一列，b写在第二行或第二列。

cos(a)    sin(a)
cos(b)    sin(b)


sin(b - a) 就等于上述矩阵的行列式的值。

sin(b - a) = cos(a) sin(b) = cos( b ) sin (a)

学父五迁

令人不解的是，复数的内容十分靠后，远在三角函数之后。
这是为什么呢？
我百思不得其解。
一个可能的原因是，前面已经讲过了向量，很容易和复数混淆。
是不是因为这样呢？
如果是因为这样，那么，向量和复数的异同点，就更应该着重区分了。
从运算法则上来看，复数可以看做是一种特殊的平面向量，其特殊之处在于其乘法（幂次、除法、根次等）。
当然，复数并非如此简单，还有一些更加高级的应用，如复空间。

学父五迁

最后，再提一下欧拉公式。

被选为最美公式之一的欧拉公式（费曼十分着迷于欧拉公式），
用复指数形式表示了复数的三角函数参数方程形式。

e^(i a) = cos(a) + i sin(a)

这种指数形式极为简洁。
应用这种指数形式，复数之间的乘除法就变成了指数之间的加减法。

学父五迁

正弦、余弦函数的导数，无论是记忆，还是推导，都不难。

其他的初等函数呢？

如果按照一定的顺序，再加上一些技巧，其他的初等函数也不难记忆和推导。

学父五迁

首先，要掌握的是链式法则。
比如，一个函数的变量，可以用另一个参数方程来表达。

y = y(u)

u = u(x)

那么，可以定性地看出，

dy       du       dy
----    -----  = -------
du       dx       dx

链式法则非常直观，不需要记忆。

学父五迁

其他的法则，如积法则、商法则、倒数法则，等等，都不用急。
这些法则都是函数之间的乘除关系。
有一种极为强大的技巧，能够把乘除关系变成加减关系。
这就是对数。
所以，我们首先要深入掌握对数函数 ln(x) 和 倒数函数 1/x 之间的关系。

ln'(x) = 1/x

我在“数学无代价应试”这个帖子里面，给出了“倒数函数求面积”的详细介绍。
小学阶段都可以运用“因数分解”这个情境来体验反比例函数关系和反比例函数求面积的方法，
体验其中的对数关系——乘除化为加减。直接用立方格积木就可以摆出来，非常直观。
小学高年级基础上，了解一点字母代数法，就可以得出 1/x 这个导数函数的面积函数（积分），
体会其中的对数关系——乘除化为加减。

接着，那个帖子讲解了，深入掌握了对数函数的导数之后，运用一下链式法则，就可以求出对数函数反函数——指数函数——的导数。

数学无代价应试
http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=93579

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=29578

掌握了对数函数的导数之后，积法则、商法则、倒数法则都是小菜一碟。

学父五迁

设 h, f, g 都是 x 的函数。

先看看积法则。

h = f g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) + ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  +  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f g

于是，

h' = g f' + f g'

这就是积法则。

学父五迁

再来看商法则。

h = f / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  -  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f / g

于是，
        f'            f  g'
h' = ------   -   ------------
        g             g  g

这就是商法则。

学父五迁

再来看倒数法则。

h = 1 / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'           g'
---  =    -  ---
h            g


两端同时乘以h。
h = 1 / g

于是，
                f  g'
h' =    -   ------------
                g  g

这就是倒数 法则。

学父五迁

任何乘除（幂次，根次）形式的函数的求导，都可以运用这种先取对数、再求导的技巧。

式微式微

看起来好厉害，我的数学都还给老师了。