《数学建模直观游戏》

学父五迁

师长指导学生，画出从“1”到“99”的所有形线画。
对于小于“10”的数量，“十位”椭圆保持为空，可以省略。
我们把这种形线画叫做十进制形线画。

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

11. 百位

上一章，我们构造了“99”的十柱型和十进制形线画。
接下来，我们就要像“100”进军了。
量变引起质变。“99”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点，推进到了“100”，我们就遇到大麻烦了。

学父五迁

“100”的十柱型只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
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口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
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口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

学父五迁

我们可以看到，“100”的十柱型，由十层“除数层”组成。
也就是说，我们需要在“十位”椭圆中，记录十条横线。
“个位”椭圆中的横线数量从未超过九条。
难道现在我们要在“十位”椭圆中打破这个规律吗？
打破这个规律又如何呢？
打破这个规律之后，我们又会陷入到我们开始遇到的问题——记录数量的横线太多。
现在，我们有了十层“除数层”，我们在“十位”椭圆记录十条横线。
如果我们有了二十层“除数层”呢？我们也在“十位”椭圆记录二十条横线吗？
如果“除数层”有三十层、四十层、甚至九十层呢？我们该怎么办？
我们也在“十位”椭圆记录九十条横线吗？那我们得需要一个多大的“十位”椭圆？
那么，我们如何解决这个问题呢？
解决思路是现成的。
前面，我们为了减少记录量，引入了一个新椭圆——“十位”椭圆。
现在，我们遇到了同样的问题，我们故技重施，再引入一个新椭圆——“百位”椭圆。
“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一板立方格——如图所示，方方正正的一板立方格。
这个方方正正的板，是个平方板，宽和高都是十个立方格，共有一百个立方格。
也就是说，“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一百个立方格（一板立方格就是一百立方格）。
“百位”椭圆正是因此特性而得名。
于是，为了记录“100”的十柱型，我们需要三个椭圆，从左到右，依次排开。
最左边的“百位”椭圆中，记录一条横线，代表一板立方格（一百个）。
中间的“十位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“除数层”。
右边的“个位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“余数层”。

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对于空椭圆，文中用“0”表示。
线段都是用椭圆包裹起来。
“100”的十进制形线画如下。
-  0  0
任务圆满完成。
这三个椭圆，在样式上没有任何区别。
这三个椭圆的进位法则也是一模一样，都是十进制，都是“逢十进一”。
“个位”椭圆是逢“十个立方格”，就进位到“十位”椭圆，在“十位”椭圆中加一条横线。
“十位”椭圆是逢“十层”，就进位到“百位”椭圆，在“百位”椭圆中加一条横线。
无论是形式，还是记录法则，这三个椭圆都完全一样。
唯一的区别在于，这三个椭圆的位置。
位置不同，代表的“数位”就不同。
“个位”椭圆中的一条横线，只代表一个立方格。
“十位”椭圆中的一条横线，代表一层，十个立方格。
“百位”椭圆中的一条横线，代表一块“百格平方板”，一百个立方格。
所谓“位高权重”，就是这个道理。数位高，权值就重。
我们可以看到，这种十柱型已经带有了明确的“十进制进位规则”。
这种十柱型就叫做十进制柱型。

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现在，我们已经构造到“100”的十进制柱型了。
这是一个具有里程碑意义的事件。
西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日，而是指孩子入学满百日。
在这一天，每个孩子都会准备一百个小物件，比如，一百个珠子，一百张卡片，一百根小棍，等等。
在这个过程中，孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验，对于孩子来说，非常重要。

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接下来，老师引导学生做一个重要的练习——把“100”的十柱型展开成一条。
一百个立方格全部铺开，是非常长的一条。
这么一个练习，是为了让学生们获得“二维平板展开为一维长度”的直观印象。
师长毋须讲解，学生自行操作体验即可。

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接下来，我们还要推进到“1000”以上。
下面是一些关键步骤的十进制柱型和十进制形线画。
.......

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原创作者：学父五迁
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12. 百位模型的十位状态

随着立方格用得越来越多，学生们可以分成小组，合作构造十进制柱型。
“199”的十进制柱型。
......
师长提示学生观察百位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了两项——“百倍项”和“十倍项”。
“十倍项”的层数，只有十种情况。
第一种状态：一层也没有。即，没有“十倍项”。
第二种状态：有一个“十倍项”，其中包含一层“除数层”。
第三种状态：有一个“十倍项”，其中包含二层“除数层”。
第四种状态：有一个“十倍项”，其中包含三层“除数层”。
第五种状态：有一个“十倍项”，其中包含四层“除数层”。
第六种状态：有一个“十倍项”，其中包含五层“除数层”。
第七种状态：有一个“十倍项”，其中包含六层“除数层”。
第八种状态：有一个“十倍项”，其中包含七层“除数层”。
第九种状态：有一个“十倍项”，其中包含八层“除数层”。
第十种状态：有一个“十倍项”，其中包含九层“除数层”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。

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通过这个游戏，学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十，得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十，得到的余数，就是十位数。
十进制数字的构造过程，正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

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原创作者：学父五迁
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13. 千位

这一章，我们就要向“1000”进军了。
量变引起质变。“999”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点，推进到了“1000”，我们就再一次遇到麻烦了。
“1000”的十进制柱型中，有了十板“百格板”。
这十板“百格板”合在一起，就构成了一个长宽高都为十的大立方体。
我们称之为“千格立方体”，因为这个立方体中共有一千个立方格。
出于同样的理由，我们不希望“百位”椭圆中的横线数量超过九。
出于同样的原理，我们引入一个“千位”椭圆，用于记录“千格立方体”的数量。
因此，“1000”的十进制形线画由四个椭圆组成，从左到右，依次排开，
分别是“千位”椭圆、“百位”椭圆、“十位”椭圆、“个位”椭圆。
最左边的“千位”椭圆中，记录一条横线，代表一个“千格立方体”。
第二位的“百位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“百格平方板”。
第三位的“十位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“除数层”。
最右边的“个位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“余数层”。
“1000”的十进制形线画如下。
-  0  0  0

学父五迁

接下来，老师引导学生做一个重要的练习——把“1000”的十进制柱型展开成十个平方板。
十个平方板全部铺开，是非常长的一条。
这么一个练习，是为了让学生们获得“三维体积展开为二维平板”的直观印象。
接下来，把其中一个平方板展开成一条。
仅此一条的长度，就等于之前的十个平方板铺开的长度了。
如果地方足够大的话，把所有平方板全都展开。
一千个立方格排成一条，几乎能超越一间教室的长度。
师长毋须讲解，学生自行操作体验即可。

学父五迁

“1000”之后的关键数量的十进制柱型和十进制形线画如下。
......
师长提示学生观察千位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了三项——“千倍项”、“百倍项”和“十倍项”。
“百倍项”（“百格平方板”）的块数，只有十种情况。
第一种状态：一块“百格平方板”也没有。即，没有“百倍项”。
第二种状态：有一个“百倍项”，其中包含一块“百格平方板”。
第三种状态：有一个“百倍项”，其中包含二块“百格平方板”。
第四种状态：有一个“百倍项”，其中包含三块“百格平方板”。
第五种状态：有一个“百倍项”，其中包含四块“百格平方板”。
第六种状态：有一个“百倍项”，其中包含五块“百格平方板”。
第七种状态：有一个“百倍项”，其中包含六块“百格平方板”。
第八种状态：有一个“百倍项”，其中包含七块“百格平方板”。
第九种状态：有一个“百倍项”，其中包含八块“百格平方板”。
第十种状态：有一个“百倍项”，其中包含九块“百格平方板”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。

学父五迁

通过这个游戏，学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十，得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十，得到一个商和一个余数。余数就是十位数。
商再除以十，得到一个商和一个余数。余数就是百位数。
十进制数字的构造过程，正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

学父五迁

模型操作，重在意会，不在言传。
开始阶段，尽量少用术语。
那些术语是为了方便师长阅读。

对于孩子。
师长可以用词如下。
在讲到除法之前的很长一个阶段里，
师长可以用“完整长方形”来代称“倍数项”，
可以用“整行”来代称“除数层”，
可以用“小行”来代称“余数项”或“余数层”。

静心

漩子妈