“题海战术”的令人心酸的真相

天就-蓝了

学父五迁 发表于 2015-11-5 15:59
哈哈。可不是。
打算卖卖电脑。。我是说，慢慢变老。 :D

快了  快了  这就快了  一起加油

Elf

学父五迁 发表于 2015-11-5 14:11
据我了解，公认的最好的线性代数教材是《线性代数及其应用》（(美)David）。
其中直接就给出了一个解方程组 ...

能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

哈哈。这个简单哪。
就像把大象装进冰箱里一样。
第一步，把冰箱门打开。
第二步，把大象装进冰箱。
第三步，关上冰箱门。

配平化学方程式也是如此。
第一步，列出方程组。
第二步，解出方程组。
。。。


好吧。以上只是一个玩笑。
我不知道“快速”配平化学方程式的“诀窍”。
我只知道配平化学方程式的通用方法。

我就把《线性代数及其应用 (美)David》一书中的例子搬过来吧。
当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧气（O2）结合产生二氧化碳（CO2）和水（H2O）。
形成如下的化学方程式。

(a1) C3H8 + (a2) O2 = (a3)CO2 + (a4)H2O

a1, a2, a3, a4 分别是四种分子的个数。

分子有上述4种。
所有的可能原子有碳（C）、氢（H）、氧（O）3种。

列个表格，列出每种分子中含有某种原子的个数。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       1        0
氢（H）     8        0       0        2
氧（O）     0        2       2        1


上述的化学方程式两边同时减去等式右端，变形如下。

(a1) C3H8 + (a2) O2 - (a3)CO2 - (a4)H2O = 0

上述的表格就变形如下（右端的分子中的原子个数变成负数）。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


如果学过矩阵初等行变换（非常简单，就是行之间加减乘除。原理同消元法一样），
那么，可以直接对上述矩阵进行初等行变换，得出结果。

如果没有学过矩阵初等行变换，那么，就列出下面的不定方程组。


3 a1             -   a3                 = 0
8 a1                        - 2 a4    = 0
         2 a2   - 2 a3   -    a4    = 0

用消元法或代入法解方程就行了。
这个方程组很适合用代入法，直接就可以看出  
a3 = 3 a1,   
a4 = 4 a1
代入最后一个方程，就可以得到
a2 = 5 a1

这是一个不定方程组，有无穷多组解。
取一组最小公约数为1的整数解即可。

a1 = 1
a2 = 5
a3 = 3
a4 = 4

学父五迁

下面描述一下矩阵初等行变换的过程。
为了清晰描述，我把每一步细节都记录下来了。
因此可能显得比上述的代入法繁琐复杂，实则不然，两者的繁简程度是一样的。
而且，如果熟悉了矩阵行变换之后，矩阵的写法更加简单，尤其适用于未知数更多的、更复杂的方程组。
当然，最重要的原因是，数学应用软件中的方程组形式，全都是矩阵形式。
如果要运用数学应用软件，必须熟悉矩阵方法。

如果使用矩阵初等行变换，需要先选取主列（换列）。
先看之前的矩阵。

           a1       a2      a3       a4

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


可以看出，第三列、第四列、第二列 适合当主列
调整列顺序，行变换正负号，行约简。

            a3      a4     a2    a1

           CO2     H2O     O2   C3H8
碳（C）     1       0      0     -3
氢（H）     0       1      0     -4
氧（O）    -2      -1      2      0


第三行加上两倍的第一行、一倍的第二行。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     2     -10

第三行约简。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     1     -5


行变换完成。
这个矩阵写成方程式如下。

a3 - 3 a1 = 0
a4 - 4 a1 = 0
a2 - 5 a1 = 0

即

a3 = 3 a1
a4 = 4 a1
a2 = 5 a1

学父五迁

还是继续说说统计中的线性回归。
除了线性回归相关系数之外，课本内容（高考范围）还要求学生记下两个线性系数的公式。
（这两个线性系数相当于 y = ax + b 中的 a, b 系数）

这两个公式也相当复杂，尽管没有了根号形式，但也相当难记。

学父五迁

课本（人教版）中的阅读材料中给出了一种推导方法。
但这种推导方法不仅没有减轻负担，反而引入了一种难度更高的技巧——不等式配方法求极值。

“不等式配方法求极值”的技巧，是一种极为高难度的技巧。
这种技巧，即使连大学师生都难以掌握。
而且，用处很少。只有数学奥赛学生才能掌握，才有机会在奥赛中用到。

这意味着，普通学生几乎不可能利用这段推导方法来帮助记忆。

学父五迁

那么，求极值的通用方法是什么呢？
求导（求微商）。
线性回归有两个系数，a, b，因此就需要求 偏导（偏微商）。
这个技巧十分简单，很容易理解掌握。
很多概率统计学的大学课本讲的方法就是 求偏导。

学父五迁

所以，一个令人哭笑不得的事实是，中学中的一些算法的难度和复杂度上，远远高于大学的通用方法。

难怪数学家克莱因提出过“尽早在中学中引入高观点（在中学的初等数学引入高等数学观点）”。
遗憾的是，他在引入“高观点”的同时，还引入了“高形式”，使得这条路子的教学实验效果并不佳。

学父五迁

在线性回归的各种讲法中，最为形象直观漂亮的讲法，还要属于一些线性代数经典教程（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的讲法。
在这种讲法中，最小二乘法有了形象的直观几何意义，一目了然。
而且这种讲法把相关的部分（平行分量）、不相关的部分（垂直分量）区分得清清楚楚，为以后学习统计学中更加复杂的相关打下基础。

学父五迁

一些人可能没有读到过（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的这部分。
为了理解得更加深入，他们查到了麻省理工教材中的“最小二乘法”的直观几何意义讲法。
他们还编写了一个小册子《最小二乘法的几何意义》，
和《线性代数及其应用 (美)David》这本书的讲法是一致的。

学父五迁

总之，中学课本中阻碍理解的讲法，林林总总，不胜枚举。
大学课本呢？
这要问是哪一个大学的课本。
因为，每一个大学，基本上都用自己院校名师编写的课本，甚至很多大学都有自己的出版社。

我读过的大学教材中，绝大部分都是极难理解的形式推导形式，远远低于中学教材的平易程度。
只有少部分大学教材编得形象生动，超越了中学教材的平易程度。

huanximm

Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

我记得可以转换为数学题目，因为化学方程式两边的各种原子数目一定是相同的，变化的是他们的组合方式。化学反应前后，质量一定相等，原子数一定相等，这两个原则可以解决很多化学题目

Elf

以后数理化问题就问楼主了

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-9 14:10
以后数理化问题就问楼主了

呵呵。欢迎之至。
欢迎大家一起探讨。

学父五迁

初等函数的微积分公式（求导），已经全面引入到高中课本，而且成为高考的考点。

学父五迁

高中课本直接给出了这些求导公式，学生只能硬记下来。

大多数的大学课本，给出了这些求导公式的形式推导过程，但是，形式上显得比较复杂，算法步骤繁多。

实际上，这些求导公式，都不需要记忆。

这些求导公式的推导过程，也不需要太多的形式推导，都有一些简洁直观的技巧。

下面一一介绍。

学父五迁

先从正弦、余弦函数开始。

正弦、余弦函数的导数，实际上不用记，而是可以直接“看”出来。

学父五迁

正弦、余弦函数有一个历史遗留下来的名字——三角函数。

其实，“三角”函数和三角形的关系，并不密切，
只是，三角形中有一些重要定理和“三角”函数相关，
如正弦定理、余弦定理（勾股定理的广义推广）。

学父五迁

“三角”函数和什么形状的关系最密切呢？
圆！
“三角”函数叫做“圆”函数，更加确切一些。
正弦余弦函数的图像中，横轴x轴方向上的分量（即，x值），
实际上就是圆弧（圆周上起点到某一点的圆弧）展开的长度。

学父五迁

很多时候，“三角”函数的种种特性，和“圆”结合起来，就一目了然了。

物理中，
速度就是反应位置变化的变化率（导数），
加速度是反应速度变化的的变化率（导数）。

正向（逆时针方向）的匀速的圆周运动，是一个刻画“正弦、余弦函数导数”的绝佳情境。

假设一个点（比如，垂直于磁力线方向飞入均匀磁力场的一个电子），做匀速圆周运动，运动轨迹为一个圆。
为了方便起见，假设圆周的半径是1（这是一个单位圆），
假设这个点的运动角速度（每一个位置对应的圆心角的变化率）是1弧度每秒。

那么，这个点的运动轨迹的参数方程如下。

x = cos(t)
y = sin(t)