《数学建模直观游戏》

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

08. 二柱型和三柱型

我们前面构造的数量模型，都是一个长条。
根据第四章《多项式与层柱法》讲述的“层柱法”，这种一根“柱”的模型叫做叫做“一柱型”。
这一章，我们运用“层柱法”，为每一个数量构造其他柱型。
请注意，同一个数量的不同柱型之间，可能加以比较。
因此，构造完成之后的柱型，需要保留下来。

学父五迁

首先，我们为每一个数量构造“二柱型”。
以数量“5”为例。
二柱型的柱数为二，那么除数就为二。每一层“除数层”就由二个立方格构成。
数量“5”的一柱型，用五个“口”字表现如下。
为了节省文本空间，文中把数量“5”的一柱型横着摆放。
口口口口口
第一步，先从总数量中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”。
口口
原来的数量变成了三个。
口口口
第二步，再从中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”，叠加在之前的“除数层”上面。
口口
口口
原来的数量变成了一个。不够一层“除数层”。这是“多余”的立方格。构成一个“余数层”。
于是，数量“5”的二柱型构造完毕，由两项组成——“倍数项”和“余数项”。
口口
口口 + 口
这两项并列摆在一起，就是数量“5”的二柱型。
上述这些名词，只是为了师长阅读理解方便，并不要求小学生掌握。
小学生只要能跟着师长的示范，跟着操作就行了。

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下面给出从“1”到“9”的二柱型。
“1”的二柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
“3”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口 + 口
“4”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
“5”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口 + 口
“6”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
“7”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口 + 口
“8”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
口口
“9”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口
口口 + 口
实际上，构造二柱型的过程，就是一个除以二的过程，就是判断奇偶数的模型操作算法。
现阶段，师长不必讲解这些概念，只需让小学生亲手操作体会。

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师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括两种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
这两种状态交替出现，即，以二为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的二柱型。

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接下来，继续构造每一个数量的三柱型。
下面给出从“1”到“9”的三柱型。
“1”的三柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的三柱型，只有一个“余数项”。
口口
“3”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
“4”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口
“5”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口口
“6”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
“7”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口
“8”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口口
“9”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
口口口

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师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括三种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
这三种状态以三为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的三柱型。

学父五迁

师长可提示学生，比较一下“6”的二柱型和三柱型。
学生可以发现，“6”的二柱型和三柱型，在形状上是等价的。
“6”的二柱型横着摆放，就是“6”的三柱型。
“6”的三柱型竖着摆放，就是“6”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
从这里，我们可以看到立方格模型的优势。
如果是蒙台梭利的十进制珠子展示器，或者圆饼教具，
如何能如此简单地横过来、竖起来？

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原创作者：学父五迁
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09. 四柱型、五柱型、六柱型到九柱型

这一章，我们继续构造每一个数量的四柱型。
下面给出从“1”到“9”的四柱型。
......
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括四种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
这四种状态以四为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的四柱型。

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师长可提示学生，比较一下“8”的二柱型和四柱型。
学生可以发现，“8”的二柱型和四柱型，在形状上是等价的。
“8”的二柱型横着摆放，就是“8”的四柱型。
“8”的四柱型竖着摆放，就是“8”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

学父五迁

接下来，我们继续构造每一个数量的五柱型。
下面给出从“1”到“9”的五柱型。
.....
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括五种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
这五种状态以五为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的五柱型。
......
需要注意的是，随着除数越来越大，余数出现的周期规律，越来越难以体现了。

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10. 十进制

西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日，而是指孩子入学满百日。
在这一天，每个孩子都会准备一百个小物件，比如，一百个珠子，一百张卡片，一百根小棍，等等。
在这个过程中，孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验，对于孩子来说，非常重要。
下面，我们一步步构建大数量的十柱型，从而深入理解十进制的本质。
回顾之前的游戏。
数量模型构造游戏，我们推进到“9”就暂停下来了。
柱型游戏也只能推进到“九柱型”，就停下来了。
这一章，我们继续向前推进。

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我们先推进到“10”。
我们先构造“9”的一柱型，然后，在上面多加一个立方格，就得到了“10”的一柱型。
现在，我们可以构造十柱型了。
我们构造“10”的“十柱型”。
“10”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“11”的一柱型。
我们构造“11”的“十柱型”。
“11”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“12”的一柱型。
我们构造“12”的“十柱型”。
“12”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口
以此类推，我们一直推进到“19”。
“19”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
我们在“19”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“20”的一柱型。
我们构造“20”的“十柱型”。
“20”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

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在这个构造的过程中，师生很容易就总结出快捷的十柱型构造规律。
只要在前面的十柱型模型的“余数项”上加一个立方格。
如果“余数层”达到了十个立方格，“余数层”就变成了“除数层”。
这一层就要移动到“倍数项”上面去了。

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我们在“20”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“21”的一柱型。
我们构造“21”的“十柱型”。
“21”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口
后面的步骤，我们可以跳着前进。
比如，从“21”跳到“29”、“30”、“31”，再跳到“39”、“40”、“41”。
总之，关键步骤就是围绕着“10”的整倍数。
以此类推，我们一直推进到“99”。
我们构造“99”的“十柱型”。
“99”的“十柱型”有一个“倍数项”和“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口

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师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括十种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
第六种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含五个立方格。
第七种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含六个立方格。
第八种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含八个立方格。
第九种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含九个立方格。
第十种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含十个立方格。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。

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十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。
通过这个游戏，学生能够切身体会到，个位数字，其实就是除以十之后的余数。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

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有了这么多的数量模型，现在就有一个问题了。
我们如何用形线画来记录这些数量呢？
按照之前的形线画记录法，数量“99”就需要用九十九条线段来记录。
随着数量越来越大，用于记录数量的横线也越来越多。
这实在是繁冗的数量记录法。

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我们需要引入一种更为简洁的数量记录法，用于记录更大的数量。
我们知道，所有的柱型模型都由“倍数项”和“余数项”两部分组成。
因此，我们可以分别记录“倍数项”和“余数层”这两部分。
“倍数项”的每一层都是相同的“除数层”，都含有十个立方格。
因此，我们只需要记录“层数”，也就是，记录“10”的个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“10的个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“十位”椭圆。
“余数层”只有一层，我们需要记录“余数层”中的立方格个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“立方格个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“个位”椭圆。
于是，每一个“十柱型”都需要两个椭圆——“十位”椭圆和“个位”椭圆。
下面，我们用形线画来记录“10”的十柱型。
我们在纸上画两个椭圆，左右相邻，左边是“十位”椭圆，右边是“个位”椭圆。
“十位”椭圆中的线段数量，代表“倍数项”的层数。
“个位”椭圆中的线段数量，代表“余数项”的立方格个数。

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以“49”为例。
“49”的“十柱型”有一个“倍数项”和一个“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，下面的两列符号都需要用正立椭圆包裹起来。
+  +
+  +
    +
    +
    -

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以“70”为例。
“70”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，“个位”椭圆保持为空，文中用“0”表示。
+  0
+
+
-