《数学建模直观游戏》

学父五迁

接下来，师长进行示范，教导孩子进行“2”的计数动作。
(1) 再拿一个立方格，叠放在第一个立方格上面。
(2) 用手指从上到下一划，口中念“从上往下数”。
(3) 拍一下手，用手指点着上边的立方格，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，用手指点着下边的立方格，口中念“第二个”
(6) 口中念“计数完成。共有二个”。
这个计数完成了吗？还没有。
上面的计数，是从上到下进行的。
下面，师长还需要示范从下到上的计数动作。
(1) 还是那两个上下叠放的立方格。
(2) 用手指从下到上一划，口中念“从下往上数”。
(3) 拍一下手，用手指点着下边的立方格，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，用手指点着上边的立方格，口中念“第二个”
(6) 口中念“计数完成。共有二个”。
孩子跟着师长的示范，照做几次。

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接下来，师长进行示范，教导孩子进行“2”的“散放计数”练习。
师长把上下叠放的两个立方格，平摊在桌面上，左右并排摆在一起。
根据前面步骤，示范从左到右计数，再示范从右到左计数。
孩子跟着师长的示范，照做几次。
这就完了吗？还没有。
师长把两个立方格分开一段较远的距离。
比如，一个放在左下角，一个放在右上角。
师长先示范从左上角开始计数，再示范从右上角开始计数。
孩子跟着师长的示范，照做几次。
师长可以任意摆放这两个立方格，以任意顺序计数。
这些“散放计数”练习的目的是为了让孩子切身体验到，物体的“数量”与“摆放位置和排列顺序”无关。
看到这里，有些读者可能会觉得小题大做、啼笑皆非。
我还是重复前面那句话。我们不能想当然地认为所有孩子已经掌握了这些数学概念。
即使有些孩子已经掌握了这些数学概念，这种系统的练习，也能够进一步帮助他们加深理解。

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以上的立方格摆放游戏，尽管包括了一个拍手的动作，但并没有涉及整个身体的运动。
孩子的视角也是居高临下的“鸟瞰模式”。
下面，我们引入整个身体的运动——“走步计数”游戏。
“走步计数”游戏最好在拥有地板砖的地面上进行。
地板砖的大小，应该适合小孩子的步距。
如果没有合适的地板砖，可在地上画格子。
“走步计数”游戏步骤的如下。
(1) 站在一块“起点”地板砖上。
(2) 口中念“向前走”
(3) 拍一下手，左脚向前一步，踩在第一块地板砖上，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，右脚向前一步，踩在第二块地板砖上，口中念“第二个”。
(5) 左脚上前，与右脚并拢，站在地板砖中，口中念“共二个”。
(6) 原地向后转，口中念“向回走”。
(7) 拍一下手，左脚向前一步，踩在第一块地板砖上，口中念“第一个”。
(8) 拍一下手，右脚向前一步，踩在第二块地板砖上，口中念“第二个”。
(9) 左脚上前，与右脚并拢，站在地板砖中，口中念“共二个”。
这时候，孩子（或示范的师长）已经回到了“起点”地板砖中。
孩子们在进行这两组游戏的过程中，可以切身体会到“立方格数量”和“步数”之间的“映射”关系。
在此之上，“走步计数”游戏中，已经隐含了“奇数偶数”的概念——左脚踏入的地板砖对应“奇数”，右脚踏入的“地板砖”对应“偶数”。
在此之上，“走步计数”游戏中，已经隐含了“一维数轴”、“原点”和“正负数方向”的概念。
这也正是本书的特点。初级阶段的游戏，通常隐含了高级阶段的概念，为将来的学习做个铺垫。
立方格游戏和走步游戏并不一定要在同一个地点连续进行。
师长可以把这两组游戏分别安排在不同的时间和地点进行。
等到孩子们都大致熟悉具体步骤之后，师长可以提供统一节拍来协调孩子们的步调。
统一节拍的提供，方法多样，比如“拍手”、“吹哨”、“鼓点”、“敲琴”等方式。

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原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

05. 二生三，三生万物

“2”的计数游戏完成之后，我们继续推进到数量“3”。
......
到此为止，我们建立了从“1”到“9”的数量模型。
数量“9”的“走步计数”游戏，步骤如下。
......
在对应每个数量的走步游戏中，师长可以提示孩子注意，最后一块砖是哪只脚踏入的。
奇数（序数）对应的最后一块砖，由左脚踏入；偶数（序数）对应的最后一块砖，由右脚踏入。
在这个阶段，不需要向学生讲解奇数和偶数的概念，由学生自行体验即可。

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06. 结绳？计豆？

现在，我们已经建立了“1”到“9”的数量模型。
接下来，我们引入一个新游戏——“计豆”游戏。
“计豆”游戏用豆子数量来“映射”（或者说“记录”）立方格数量或者步数。
“计豆”游戏的目的是进一步加深体会“计数模型”之间的“映射”关系。
我们先来看豆子和立方格之间的映射游戏。
“立方格<-> 豆”之间的映射游戏，分为两个方向。
一个方向是从“立方格”到“豆”的映射，简写为“立方格->豆”映射。
另一个方向是从“豆”到“立方格”的映射，简写为“豆->立方格”映射。
这两个方向的映射游戏，师长需要为每个学生准备如下材料。
(1) 一大袋豆子，至少不低于九颗。
(2) 透明小塑料袋一个，至少可容纳九颗豆子。
立方格的形式，也有所变化。
在前面的游戏中，立方格一直是当做立方块来用的。
现在，我们要把立方格当做“容器”来用了。
我们需要使用立方格的“敞口”形式，里面可以放入豆子。
前面的游戏中，数量的立方格模型都是上下叠放形式的。
现在，我们需要使用立方格模型的平放形式，以便放入豆子。

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“立方格-> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 取出九个立方格（敞口的），并列平放在一起，构成数量“9”的立方格数量模型（平放形式）。
(2) 从大袋子中，一颗颗取出豆子，每取出一颗豆子，都放到一个空的立方格中。
(3) 所有立方格都放满了豆子之后，停止从大袋子中取豆子。
(4) 把立方格中的豆子，全都倒入到一个空的透明小塑料袋中。
这样，我们就把立方格数量（“9”）用小塑料袋里的豆子数量“记录”下来了。

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有人可能会问，为什么要多此一举？把立方格数量模型直接存放起来不就行了？
这里的原因在于，相对于豆子，立方格模型的体积较大，不宜存放和携带。
用小物件的数量，来记录大物件的数量，是一种非常普遍的做法。
古人结绳记事，就是这个道理。
还有些古人用瓦罐里的小石子儿记录牛羊的数量，也是出于同样的道理。

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接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新构造对应的立方格数量模型。
这就是“立方格<-> 豆”之间映射的另一个方向——“豆->立方格”映射。
为了便于孩子理解，我们引入一个“学生座位”小问题：班里有九个学生，每个学生都需要一个座位，请问，共需要几个座位？
透明小塑料袋里的豆子就代表学生；立方格就代表座位。
现在，我们需要为每一个豆子准备一个立方格。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 拿一个空的立方格，把豆子放里面。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
最后，我们就得到了九个立方格。
我们把这九个立方格并列平放在一起，和之前的那个“九”的立方格数量模型，摆在一起。
我们发现，这两列立方格，长度相同，个数相同。
这就说明，豆子记录法能够还原本的物件数量。
以上是“立方格<-> 豆”之间的映射游戏。

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值得一提的是，上述的“学生座位”小问题，可以很容易扩展为减法问题。
比如，班里有九个学生，有六个座位，还需要几个座位？
比如，班里有六个学生，有八个座位，还能多坐下几个学生？

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下面，我们来看“步数”（地板砖数量）与“豆子数量”之间的映射游戏。
同样，“地板砖 <-> 豆”之间的映射游戏，也分为两个方向。
一个方向是从“地板砖”到“豆”的映射，简写为“地板砖->豆”映射。
另一个方向是从“豆”到“地板砖”的映射，简写为“豆->地板砖”映射。
准备工作同上。
“地板砖 -> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 在地板上走九步，走过九块地板砖。
(2) 每走一步，就从大袋子里（可用衣服口袋）取出一颗豆子，放到透明小塑料袋中。

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接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新走过那九块地板砖。
为了便于孩子理解，我们引入一个“寻宝”小故事。
某一块地板砖下，藏着宝贝。
我们需要根据“锦囊”（也就是透明小塑料袋）中的“妙计”（也就是豆子数量），找到那块藏宝的地板砖。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 走一步，前行一块地板砖。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
如果起点相同，方向相同，我们将走到之前走到的那块地板砖。
这就说明，豆子记录法能够还原来的步数。

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数量“9”的映射游戏完后之后，我们继续做数量“8”的映射游戏。
以此类推，直到所有的数量映射游戏都完成。
以上的游戏，单人熟练之后，可以进阶成双人小组形式。
两个小学生一组。
其中一个小学生提供豆子数量，另一个小学生根据豆子数量构造立方格数量模型。
交换角色。
其中一个小学生提供立方格数量模型，另一个小学生根据立方格数量模型把豆子装入透明小塑料袋。
交换角色。
遍历从“1”到“9”的所有数量。

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07. 数字？刻线？形线画？

把大物件的数量，“映射”为小物件的数量，确实便于存储和携带。
只是，这种映射还是不够给力。
毕竟，小物件再小，也是有体积的。数量多了，也是不小。
而且，还有一个问题，小物件的点数，可能比大物件还麻烦。
比如，数豆子，比数立方格麻烦许多。
立方格规规整整摆在那里，很容易就数完了。
豆子圆溜溜的，不好摆放，数起来就不那么方便。
这也是为什么立方格数量模型由于豆子数量模型的主要原因之一。
这么说来，如果我们把立方格继续变小，变成比豆子还小，是否就可以解决这个问题了？
这可不一定。人的视力精度和手指操作精度是有限的，不太擅长处理过于细小的物件。

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有没有更好的方法？
当然有。这就是数字。正式名称是“阿拉伯数字”（最先由印度人发明，由阿拉伯人传播）。
作为大人，我们早已掌握了数字的概念和用法。
于是，小学数学课一开始（甚至更早），师长就理所当然地引入了数字。
不过，在我看来，小学阶段初期就引入数字，有些过于急进了。
数字是数量的抽象表达符号。
相对于数量模型来说，数字是一种过于抽象的符号。
小学阶段是形象思维阶段，应当重视形象数学模型的构建。
当然，到了处理大数量的阶段，数量模型就不够用了，小学生必须要掌握数字。

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因此，在处理大数量之前，我们需要做两项工作。
第一项工作，我们尽量把数量用模型来表现。
第二项工作，我们逐步教会小学生掌握数字。

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本章的内容就是帮助小学生掌握数字的前身——刻线记事。
同结绳记事一样，刻线记事同样是古人常用的数量“记录”方法。
古人在泥板、石板、木板等载体上刻下一条条的线段，把数量记录下来。
为什么是线段，而不是其他形状？当然是因为好刻。
还可能有另外一个原因——线段与“算筹”形态相似。
所谓“算筹”，就是一把小木棍，是古人常用的数量模型。
就像我们前面用立方格、地板砖、豆子当做数量模型一样。
一些带有颜色的高级算筹甚至可以表达正负数。
比如，红色算筹就表示负数（支出，欠款），蓝色算筹就表示正数（收入，节余）。
所以，直到现在，人们仍然习惯把亏损数额称为“赤字”。
华德福提倡“由画入字”，通过“形象画”，一步步演化为文字（包括字母和汉字）。

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下面，我就设计一套表示数量的“形线画”。
首先，我设定，每一条数量记录，都应该圈在一个上下高、左右窄的正立椭圆里面。
正如透明小塑料袋是豆子的容器一样，这个正立椭圆也是线段的容器。
那么，这个容器的形状为什么是一个正立椭圆？
这当然是为了将来引入数字“0”。
数字“0”正是一个正立椭圆的形状。
一个“空”的容器，不正是表达了数量“0”的概念吗？
椭圆内用交叉的横线和竖线的个数来映射数量。横线代表“奇数”序数，竖线代表“偶数”序数。

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下面，我直接给出从“1”到“9”的“形线画”表达（省略了外圈的正立椭圆）。
“1”的形线画就是一条横线。
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“2”的形线画就是：“1”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
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“3”的形线画就是：“2”的形象画中，加一条横线。
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“4”的形线画就是：“3”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
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“5”的形线画就是：“4”的形象画中，加一条横线。
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“6”的形线画就是：“5”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
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“7”的形线画就是：“6”的形象画中，加一条横线。
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“8”的形线画就是：“7”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
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“9”的形线画就是：“8”的形象画中，加一条横线。
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以上就是从“1”到“9”的形线画表示（还需要加上一个正立椭圆的外圈）。

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之所以这样设计，一是为了节省空间，二是为了让学生提前熟悉一下加减法的符号，三是为了让奇数偶数一目了然。
如果最后一行是一条横线（减号），那么就是奇数。
如果最后一行是横竖交叉（加号），那么就是偶数。

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引入了这些“数”的形线画之后，我们需要把从“1”到“9”的立方格数量模型全都用形线画记录在纸上。
一个立方格，对应一条线段
这就是“立方格数量模型”到“形线画”的映射，简写为“立方格 -> 形线画”映射。
然后，我们根据这些形线画，重新构造出对应的立方格数量模型。
这就是“形线画”到“立方格数量模型”的映射，简写为“形线画 -> 立方格”映射。
这个步骤就很简单了，每一条线段对应一个立方格。