“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

这到底是为什么呢？
这些形式符号描述的算法流程为什么不能配上详尽的图文说明呢？
有一个主要原因——印刷成本问题。

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那些数学算法的步骤异常琐碎复杂，如果配上详尽的文字说明，
那么，整本书将膨胀为之前的数十倍甚至数百倍。

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举一个例子。

麦克斯韦方程（组），被选为最美方程之一。
只有四个形式极为简洁的方程，就刻画了电磁学的基本定律。
（当然，这种形式上的简洁，只是因为用了简写符号而已——使用了场论算符的多元偏微分方程）

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只是大多数人看不懂这些方程，也体会不到其中的美感。
如果给麦克斯韦方程配上详尽文字说明的话，可能需要一本书。
比如，《图解直观数学译丛（副标题: 麦克斯韦方程直观）》这本一百多页的书就是出于这个目的。

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如果有这样两种学习方法可选的话，
(1) 阅读这样的一本书理解麦克斯韦方程。
(2) 根据课本上的麦克斯韦方程和例题，做习题。

大部分学生会从题海战术中解放出来。

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大学还只是高等教育的开始，后面还有浩如烟海的历史文献，几乎全都是简化的符号形式。
如果都配上详尽的文字说明的话。。。。。好吧。这将见证印刷业的大兴。

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（电纸书、电子媒体形式的教材，是否能够解决印刷成本的问题？当然能。
但这是一个有关未来的科幻话题。我们暂且回到现实。我们现在的课本，仍然都是印刷出来的纸书。）

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霍金说过一句话：书中每多一个公式，读者就会流失一半。

可见，人们是多么痛恨形式符号。

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但是，大部分人没有选择，为了将来能够读懂高等教材中的形式符号，被逼无奈，大多数人从小就不得不开始学习形式符号。
形式符号的训练从小学就开始了，到了中学开始加强，到了大学。。。。
现在，一些大学开始引入数学建模实验，运用数学应用软件构造函数图形。
这对于掌握一些函数的变化规律有所帮助，但是，在帮助学生理解数学思想上并无直接帮助，编程语言同样是一种形式符号。

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有人说：中小学都是满堂灌的填鸭式教育。
很少有人谈到大学。
实际上，看看大学的“大课”上的上百个学生济济一堂，再看看几十本砖头式的大学教材，
方才明白，什么才是真正的“填鸭”。

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有师长说：“小学的数学，与其说是数学问题，不如说是语言问题。既有自然语言理解问题，也有形式符号理解问题。”
实际上，到了中学，数学更是语言问题——中学的形式符号更加复杂。
到了大学。。。。。欢迎来到符箓世界。

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现在，我们做个科幻一般的假设。
假设（仍以数学为例），教材中的所有形式符号，都配上浅显易懂的图文说明（甚至动画演示、软件构型等），
那么，数学还有难度吗？

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这个问题实际上是在问：除了形式符号上的难度之外，数学本身有难度吗？大部分人都能理解吗？毕竟，数学的算法那么复杂。

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我的看法非常乐观。
复杂度，并不意味着难度。
数学中，大部分的算法复杂度，只是一些细节处理而已。
数学的主脉，并不复杂，也没有太高的理解难度。
数学的主要内容，都是围绕着数学模型（主要指函数关系）的变化规律展开的。
只要消除了语言形式符号上的难度，数学本身的理解难度就几乎消除了，呈现出一片坦途。

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大中小学的数学内容，基本上围绕着十九世纪初就大致发展完善的古典数学，以多元微积分方程为里程碑。
各行各业的应用中，多元微积分方程是应用最广的内容。
大中小学的数学，基本上都在为多元微积分方程做准备工作。

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多元微积分方程，用来做什么呢？
就是根据细微局部的变化规律（微分），推导出整体的变化规律（求解微分方程，需要用到积分等方法）。

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中小学的初等函数，主要是一些常见的变化规律（如线性、幂次多项式、指数、对数、正余弦等）。
这些初等函数，是微分方程中常见的通解形式。

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听起来，好像很抽象、很难懂的样子，幸运的是，大中小学数学（古典数学）的内容，都有直观的几何意义和物理意义。
数学模型（函数关系）的变化规律，都有对应的直观几何意义：切线、截线、切面、截面、曲线、曲面，等等。

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现代数学（二十世纪的数学发展）中一些内容非常抽象（比如，高维空间，纯粹的代数变换），没有直观的几何意义。
有些数学教育家认为，如果过于追求直观意义，可能会影响一些纯抽象理论的学习。
这个问题，我不关心，也不了解。
因为，大部分人（比如我）只需要学习到古典数学就为止了，很少有机会用到现代数学。
一般是数学系（或者某些偏理论的硕士），才会专门学现代数学方法。

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接下来，谈论一些具体的例子——高考中的考点。