数学无代价应试

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

07 复杂追及问题的矩形数量模型演示

07.01 复杂的追及问题

有些追及问题，非常复杂，但是，万变不离其宗，都可以用矩形模型演示。

接下来的问题更加复杂。

甲每分钟生产2格，
乙每分钟生产5格，
甲生产了2分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，乙的产量是甲的2倍？

为了表示甲的产量的2倍，
假设在旁边还有一个虚构的甲，
从开始就一直和真实的甲同时在生产。

甲生产了2分钟。

虚甲      真甲

口口      口口
口口      口口

接下来，乙也开始生产。

虚甲      真甲        乙

口口      口口
口口      口口
--------------------------- 2分钟之后
口口      口口     口口口口口
...       ...      ..........

2分钟之后的那部分，
乙的每一行都比甲（两个甲）的每一行都多1个（乙每分钟比两个甲多生产1个），

甲（两个甲）和乙的每一行都各自去掉4个。

虚甲      真甲        乙

口口      口口
口口      口口
--------------------------- 2分钟之后
                       口
                       ....

乙剩下的每一行，表达了这样的含义：
乙每分钟比两个甲多生产1个。

乙剩下的部分，应该和两个甲剩下的部分相等。
两个甲剩下的部分是8个。

8个摆成1个一行，就摆成8行。
答案就是8分钟。

还有一类问题，信息比较隐蔽。

甲每分钟生产3格，
乙每分钟生产5格，
甲比乙多工作了2分钟，结果，还是比乙少了10个。
请问，甲和乙各工作了多少分钟？

这个问题变换一下。

甲工作2分钟，生产了6个。
如果没有这2分钟，甲就少了这 6个。
除此之外，甲比乙还少10个。
那么，在这段同样的时间里，甲比乙就少了 16 个。

问题就变成如下。

甲每分钟生产3格，
乙每分钟生产5格，
工作几分钟之后，乙比甲多生产16个？

甲          乙

口口口     口口口口口
...         ....

甲和乙的每一行，都去掉3个。

甲          乙

           口口
           ....

乙剩下的这部分，就是16个。
16个分成2个1行，就是8行。
乙工作的时间，就是8分钟。
甲工作的时间，就是10分钟。

还有一类问题，两者每分钟的产量是相同的。
这种问题是从年龄追及问题中变换而来的。

甲和乙每分钟都生产1格，
甲生产了12分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的4倍？
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的3倍？
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的2倍？



甲       乙

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口

----------------  12 分钟之后

口        口
..        ..

如果甲的产量是乙的4倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的3倍。
12个分成3行。
从倍数表中可以查到，另一个维度是4。
每行就是4个。

也可以把12个摆成3个一行。

口口口
口口口
口口口
口口口

一共摆了4行，每行3个，转置一下，就变成了3行，每行4个。

口口口口
口口口口
口口口口

乙的产量是4。
这是4分钟的产量。

如果甲的产量是乙的3倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的2倍。
12个分成2行。
从倍数表中可以查到，另一个维度是6。
每行就是6个。

也可以把12个摆成2个一行。

口口
口口
口口
口口
口口
口口

一共摆了6行，每行2个，转置一下，就变成了2行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口

乙的产量是6个。
这是6分钟的产量。

如果甲的产量是乙的2倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的1倍。
乙的产量是12，这是12分钟的产量。

学父五迁

08.02 产出和消耗问题（“牛吃草”问题）

还有一类问题，涉及到生产和消耗，非常复杂。
这种问题是从牛顿问题（牛吃草，草在长）变换而来的。

有一种方格生产设备，本身有一定的方格储备。
启动之后，每分钟生产可以产生一定数量的方格。

假设，在某种极端情况下，每个人每分钟消耗一格。

根据预算，这个方格生产设备启动之后，可以满足两种消耗方案。

第一种方案，这个方格生产设备启动之后，可以满足8个人10分钟的消耗需求。

第二种方案，这个方格生产设备启动之后，可以满足9个人8分钟的消耗需求。

请问，这个方格生产设备原本的方格有多少个？每分钟能产生多少个方格？


第一种方案中，方格生产设备提供的方格数量包括原本储量和10分钟的产量，
等于8个人10分钟的能耗，也就是80个。

第二种方案中，方格生产设备提供的方格包括原本储量和8分钟的产量，
等于9个人8分钟的能耗，也就是72个。

假设，方格生产设备每分钟的产量是一行。

口......

10分钟的产量就是10行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

8分钟的产量就是8行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

10分钟的产量，比8分钟的产量，多了2行。

口......
口......

第一种方案比第二种方案，方格生产设备多提供了8个方格。
第一种方案比第二种方案，方格生产设备多运行了2分钟，就多提供了2行方格。
8个能量方格分为2行。根据倍数表，可以知道，每行4个。

口口口口
口口口口

一行4个就是方格生产设备的每分钟的产量。
那么，8分钟的产量就是32个。

第二种方案中，共消耗了72格。

那么，原有的储备就是 40格。

这道题目完成之后，新的要求又来了。

请问，这个方格生产设备给6个人用，可以用多少分钟？

解法如下。

6个人一分钟能耗为6格。

口口口口口口


方格生产设备提供方格           6个人消耗方格

口口口口                     口口口口口口
....                          .....

------------------------------------------
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口


每一行减去四个。
方格生产设备提供方格      6个人每分钟多消耗的方格
   
                           口口
                           ....

------------------------------------------
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口


剩下的聚能和耗能这两部分，应该相等。

40格要摆成2个一行，共摆成20行。

6个人可以使用20分钟。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

09 倒数函数面积对数性质的定性定量刻画

09.01 中学阶段的倒数函数的面积

前面讲了反比例函数（32/x 等）和x轴[1, x]之间的曲边梯形面积的对数性质。
前面的模型演示，是整数点和整数面积的演示。

到了中学，学习了倒数形式的反比例函数(1/x)之后，学生就可以按照如下的方式构造矩形。
在x轴上选取1、2、4、8、16、32等按照指数规律分布的位置点。
求出1/x函数曲线上的对应点。

(1, 1)
(2, 1/2)
(4, 1/4)
(8, 1/8)
(16, 1/16)
(32, 1/32)

按照上述的方法，构造相邻两点间的矩形面积。

[1, 2]之间的矩形面积。
底 = （2 - 1）= 1
高 =  1/2

矩形面积 = 2 × 1/4 = 1/2

[2, 4]之间的矩形面积。
底 = （4 - 2）= 2
高 =  1/4

矩形面积 = 2 × 1/4 = 1/2

[4, 8]、[8、16]、[16, 32]等区间之间的矩形面积也是 1/2。

相邻两个位置点都是2的幂，其指数相差1，因此，两点间夹的面积就是1倍的 1/2。

[4, 16]两个位置点之间，夹的面积，就是 2 倍的 1/2。

因为4是2的2次方，指数是2，16是2的4次方，指数是4。
指数相差 (4 - 2) = 2
因此，所夹面积就是2倍的 1/2。

假设a、b、c是x轴上的三个位置点。
如果有 c = ab，那么， [1, c]之间的面积 = [1, a]之间的面积 + [1, b]之间的面积。

这个规律同前面的整数矩形模型完全一样，都符合对数性质。

很容易验证，这些位置点之间的面积，符合对数关系。

[1, ab]区间的面积 = [1, a]区间的面积 + [1, b]区间的面积

因为，如下关系成立。

[1, ab]区间的面积 = [1, a]区间的面积 + [a, ab]区间的面积

[1, ab]区间的面积 = [1, b]区间的面积 + [b, ab]区间的面积

[1, a]区间的面积 = [a, ab]区间的面积

[1, b]区间的面积 = [b, ab]区间的面积

学父五迁

09.02 指数距离之间的细长矩形面积

以上的矩形面积分块方式，太过简单粗暴。
矩形底边长以指数形式增长。
最后一块的矩形底边，竟然是前面所有矩形底边的和。
因此，上述游戏只是定性刻画，远非定量刻画。

下面，我们把这个问题泛化细化。
求1/x曲线在[1, x]区间的面积函数。

设 q 是 x 的 n 次方根， q = x^(1/n)

请注意，这个时候的q，不再等于底数b。

在x轴的[1, x]区间上取点。
n + 1个点。将区间分成n份儿。

1, q, q^2, q^3 ........ q^n

n很大的情况，q接近于1，被分成n个细长条的小矩形。

第一块细长条矩形。
底是 q - 1。
高是 1/q。
面积是 (1 - 1/q)。

第二块细长条矩形。
底是 q^2 - q。
高是 1/q^2。
面积是 (1 - 1/q)。

可以推知，之后的细长条矩形面积都是相同，都是 1 - 1/q。
这些位置点之间的面积，同样符合上述的对数规律。

设 x 轴上有三个位置点 a, b, c。
如果有 c = ab, 那么，就有  

区间[1, c]的面积 = 区间[1, a]的面积 + 区间[1, b]的面积

这正是《e的故事：一个常数的传奇》（[以]Eli Maor）一书中阐述的思路。

学父五迁

09.03 等距离点之间的细长矩形面积

一些微积分教材使用等距离的位置点来定量刻画这个面积函数。
这种思路的计算复杂繁琐一些，不过，并不算特别复杂，比中学课本中常见的二次方程式展开简单多了。
也可以作为练习内容。

我们采用如下的算法来计算[1, 4]之间的面积。

[1, 4]之间平均分成n份儿。
先别管 n 是多少。反正n足够大就行。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (4 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

x轴上的位置点直接构成等差数列。
1, 1 + (4 - 1)/n, 1 + 2 × (4 - 1)/n ......

对应的y值就是x值的倒数 1/x。

第一个小细条矩形的面积如下。

细条矩形的高等于第二个位置点的x值的倒数。

     1
------------
1 + (4 - 1)/n

那么，第一个小细条矩形的面积就是 底 × 高

(4 - 1)/n
------------
1 + (4 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 4]区间的面积。

下面，就根据这个算法，推导出该面积函数的对数性质。

如果该面积函数符合对数性质，那么，就应该符合如下对数性质。

[1, x1 · x2 ]区间的面积 = [1, x1]区间的面积 + [1, x2]区间的面积

比如 32 = 4 × 8

应该有如下的对数关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]区间的面积

如何证明上述的关系成立呢？

由于

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [4, 32]区间的面积

只需要证明

[4, 32]区间的面积 = [1, 8]区间的面积

上述的对数关系就成立了。

那么，只需要运用上述算法，计算 [4, 32]区间的面积 和 [1, 8]区间的面积。

先计算[1, 8]区间的面积。
[1, 8]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (8 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

相邻点直接构成等差数列。

1, 1 + (8 - 1)/n, 1 + 2 × (8 - 1)/n

第一个小细条矩形。
矩形高是 1/x

  1
------------
1 + (8 - 1)/n


面积是

(8 - 1)/n
--------------
1 + (8 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(8 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (8 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 8]区间的面积。

再计算[4, 32]区间的面积。
需要注意的是，[4, 32]的起点是4，不是1。

[4, 32]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (32 - 4)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

和[1, 8]区间的细条矩形比较。
可以发现，[4, 32]区间的矩形底边长，是[1, 8]区间细条矩形底边长的 4 倍。

相邻点直接构成等差数列。
4, 4 + (32 - 4)/n, 4 + 2 × (32 - 4)/n

第一个小细条矩形。

高是1/x


    1
---------------
4 + (32 - 4)/n

这时候，就可以发现一个有趣的规律。
和[1, 8]区间的第一个小细条矩形进行比较。
比较两个矩形的高。
可以发现，[4, 32]区间第一个细条矩形的高，是[1, 8]区间第一个细条矩形的高的 1/4。
前面已经知道，[4, 32]区间的矩形底边长，是[1, 8]区间细条矩形底边长的 4 倍。
抵消之后，两个对应矩形的面积正好相等。

验证一下。
面积是

(32 - 4)/n
----------------
4 + (32 - 4)/n

分子分母同时除以4。

(8 - 1)/n
----------------
1 + (8 - 1)/n

恰好等于[1, 8]区间的第一个小细条矩形面积。
下面继续验证第二个小细条矩形。

同样，第二个小细条矩形也符合上述规律，面积是

(32 - 4)/n
---------------------
4 + 2 × (32 - 4)/n

分子分母同时除以4。

(8 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (8 - 1)/n

等于[1, 8]区间的第二个小细条矩形面积。

.....

n个小细条矩形加起来，就是[4, 32]区间的面积。

[1, 8]区间和[8, 32]之间的一一对应的小矩形，有这样的关系。

[4, 32]区间小矩形的底边长，是[1, 8]区间小矩形的底边长的 4倍。
[4, 32]区间小矩形的高，是[1, 8]区间小矩形的底边长的1/4。

因此，两个区间内的对应小矩形，面积都是相等的，从而两个区间的面积相等。

上述的过程中，把 4 换成 x1，把 8 换成 x2，这个规律同样成立。

[1, x1 · x2 ]区间的面积 = [1, x1]区间的面积 + [1, x2]区间的面积

数学大师龚升写了一本优秀的微积分教材《简明微积分》。
其中就用这种等距离算法刻画该面积函数的对数性质。

学父五迁

09.04 等距离点算法的另一个分割点 x = 8 的练习

上面的例子，我们采用了 x = 4 这一点作为分割点。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]区间的面积

我们还可以采用 x = 8 作为分割点。

[1, 32]区间的面积 = [1, 8]区间的面积 + [8, 32]区间的面积

只需要证明

[8, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积

计算[1, 4]之间的面积。

[1, 4]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (4 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

x轴上的位置点直接构成等差数列。
1, 1 + (4 - 1)/n, 1 + 2 × (4 - 1)/n ......

对应的y值就是x值的倒数 1/x。

第一个小细条矩形的面积如下。

细条矩形的高等于第二个位置点的x值的倒数。

     1
------------
1 + (4 - 1)/n

那么，第一个小细条矩形的面积就是 底 × 高

(4 - 1)/n
------------
1 + (4 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 4]区间的面积。


再计算[8, 32]区间的面积。
需要注意的是，[8, 32]的起点是8，不是1。

[8, 32]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (32 - 8)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

和[1, 4]区间的细条矩形比较。
可以发现，[8, 32]区间的矩形底边长，是[1, 4]区间细条矩形底边长的 8 倍。

相邻点直接构成等差数列。
8, 8 + (32 - 8)/n, 8 + 2 × (32 - 8)/n

第一个小细条矩形。

高是1/x


    1
---------------
8 + (32 - 8)/n

这时候，就可以发现一个有趣的规律。
和[1, 4]区间的第一个小细条矩形进行比较。
比较两个矩形的高。
可以发现，[8, 32]区间第一个细条矩形的高，是[1, 4]区间第一个细条矩形的高的 1/8。
前面已经知道，[8, 32]区间的矩形底边长，是[1, 4]区间细条矩形底边长的 8 倍。
抵消之后，两个对应矩形的面积正好相等。

验证一下。
面积是

(32 - 8)/n
----------------
8 + (32 - 8)/n

分子分母同时除以4。

(4 - 1)/n
----------------
1 + (4 - 1)/n

恰好等于[1, 4]区间的第一个小细条矩形面积。
下面继续验证第二个小细条矩形。

同样，第二个小细条矩形也符合上述规律，面积是

(32 - 8)/n
---------------------
8 + 2 × (32 - 8)/n

分子分母同时除以8。

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n

等于[1, 4]区间的第二个小细条矩形面积。

.....

n个小细条矩形加起来，就是[8, 32]区间的面积。

[1, 4]区间和[8, 32]之间的一一对应的小矩形，有这样的关系。

[8, 32]区间小矩形的底边长，是[1, 4]区间小矩形的底边长的 8倍。
[8, 32]区间小矩形的高，是[1, 4]区间小矩形的底边长的1/8。

学父五迁

09.05 直接应用求导（求微商）的链式法则刻画面积函数

张景中院士和林群院士在微积分初等化方面做了大量的有益工作。
其中，张景中甚至在中学领域中也做了大量的工作。
z+z智能教育平台（《超级画板》和《立体几何》）就是张景中主持开发的。
（z+z 是智能加知识的意思，但我总以为是“张景中”的首字母缩写 zjz。:）

张景中写过一本《直来直去的微积分》。
直接应用了微商链式法则直接刻画该面积函数的对数性质。

到了高中，学写了微积分知识之后，这个面积函数的对数性质，就会变得十分简单。

假设面积函数 y = f(x)

那么，

dy/dx = 1/x

再假设一个复合函数。

y = f(u)
u = ax


y = f(ax)

注：f(ax)是一个不同于f(x)的函数，可以理解为一个新函数 y = g(x) = f(ax)


dy/dx = (dy/du) × (du/dx)

(dy/du) = 1/u = 1/ax

(du/dx) = a

那么，

dy/dx = (1/ax) × a = 1/x

这就是说，f(ax) 和 f(x) 两个函数在同一个x值上的微商是相同的。
从几何意义上，就是说，两个函数在同一个x值上的对应点上的切线斜率是相同的。
这两个函数的切线（x相同的时候），是处处平行的。
而且，两条平行切线之间的距离总是相等。
两个对应切点之间的距离（即两个切点的y值的差，y1 - y2），也总是相等，等于一个常数 C。
这就是说，两个函数之间是平移的关系（沿着垂直方向，即y轴的方向，上下平移）。

这意味着，f(ax) - f(x) = C
C 是一个常数。

那么，这个 C 是多少呢？

令 x = 1

f(a) - f(1) = C

其中，f(1) = 0

那么，C = f(a)

于是，f(ax) - f(x) = f(a)

f(ax) = f(x) + f(a)

x和a可以取任意正实数。

这就刻画出了该面积函数的对数性质。

伏地的小草儿

好专业!
看不懂…………