《数学建模直观游戏》

学父五迁

本书的名字中的“建模”二字，也是建立数学模型的意思。
不过，本书讲解的数学模型，面对中小学生。
本书的建模问题，并非现实社会中的未知问题，而是数学、物理、化学、生物、地理等各个科目中的现成数学定理。

学父五迁

本书运用故事力，将一些高年级、跨科目的重要定理，用小学生能够理解的故事形式，表现出来，
从而让小学生就能够理解并操作相应的数学模型。

学父五迁

除了这个高层次的含义之外，本书的“建模”还有低层次的含义——数学教具模型。
数学教具模型，并非什么新鲜理念，早已流行了一个多世纪了。
其中，几何造型的教具居多。
表现大数量模型的教具，并不是很多。
蒙台梭利教具中的十进制珠子展示教具是其中一个，能够表现个、十、百、千等大数量。
数量“10”用一条10个珠子的珠串来表示。
数量“100”用一个“10 X 10”的珠子平方板来表示。
数量“1000”用一个“10 X 10 X 10”的珠子立方体来表示。
一些家长反映，使用这套教具，四五岁的孩子就能够轻松掌握以及千以内的加减法进位退位等计算。
单从这个效果看，这套教具就比一般的一二年级数学课本要强许多。

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不过，这套教具只能演示最基本的数量模型，而且，并非最佳演示模型。
皮亚杰曾在著作中提出一套类似的教具模型，以“立方块”为基本数量单元。
比起珠子，立方块更适合作为基本数量单元。
因为，立方块很容易扩展为长度（一维直线）、面积（二维平面）、体积（三维空间）的概念。
一些新编的小学数学课本、教案、竞赛教程中，也开始使用立方块模型，表示个、十、百、千等十进制数量概念。
单个立方块，就代表个位上的一个单位；十个立方块组成的条子，就代表十位上的一个单位；
10 X 10 的立方块构成的平方板，就代表百位上的一个单位；
10 X 10 X 10 的立方块构成的立方体，就代表千位上的一个单位。

学父五迁

在展示数学概念方面，立方块相对于珠子，优势显著。
在此基础上，我进一步改进，把“立方块”改进成了“立方格”——即，空心的立方块。
立方格不仅可以像立方块一样，成为单元数量模型，其本身还可以作为容器，装入豆子、珠子等数量模型。
这样，立方格教具就相当于蒙台梭利教具和皮亚杰教具结合了。

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我为什么要做出这样的改造？
因为，立方格是“容器”。
这一点，具有深远的意义。
由于立方格是容器，因此，把立方格在各个维度方向拼接起来，就能构成一维、二维、三维的坐标系。
我们可以把豆子、珠子等小数量模型放入到坐标系的“格子”里，构成坐标点，表达更为复杂的数学模型。

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本书中，数量表达形式的进化过程如下。
(1) 教具模型。立方格，袋装豆子，杯装豆子，等。
(2) 形线画。由一个外圈和圈内横线构成。外圈是一个正立椭圆，圈内是一条条短横线，代表数量。
(3) 具体数字。0到9这十个阿拉伯数字组成的数字。
(4) 文字代数形式。如“底 X 高”这样的面积公式。
(5) 字母代数形式。如“a + 5 = 12”这样的带有未知数的方程等式。

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本书尽量推迟这个进化过程。
本书尽量把高阶知识转化成低阶形式，以便低年级小学生就可以提前接触高阶知识的具体运算步骤。
这正是本书的重要特色之一。
本书的课程安排，遵循着从“特殊到一般”的归纳过程。
前一个阶段的运算练习，通常是后一个阶段概念的特化后的具体运算步骤。
这样形成前后串接、藕断丝连、连续迭代的关系。
当师长后面讲到相关数学概念的时候，小学生已经提前获得了相关概念的具体运算操作的体验感受。

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下面说说具体年龄段的内容安排。
七周岁到十二周岁之间，共有五年时间。
本书为这五年时间安排了充裕的内容，即使是打算参加数学竞赛或提前自考的早慧儿童也能吃得饱。
这部分内容的表现形式，基本上不会超出前四种，最多只抽象到“文字代数形式”的程度，不会出现“字母代数形式”。
十二周岁之后，大门彻底打开，包括字母代数形式在内的一切数学语言，都可以自由引入了。
对于七周岁之前就开始学习数学的孩子，我更是要着力推荐本书了。
因为，本书注重形象思维，推迟抽象符号，比其他教材更“安全”。

姗姗妈

哇！原创的！
谢谢学父！

姗姗妈

有时间仔细看。
现在都不爱动脑筋了，怂恿孩儿爸来钻研

楚漪

估计得大孩子了吧，幼儿园的小朋友飘过

一起成长

这贴跟定了

一起成长

楼主，请问是边写边更新还是已经写好陆续搬上来？我主要是想知道您更新的进度

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

03. 多项式与层柱法

本章是全书的方法论纲领，涵盖诸多关键数学思想，用到很多术语。
若是感到陌生或难解，略过即可。
后面的章节中，会对本章提到的内容，循序渐进的讲解。

学父五迁

[温馨提示：此段术语众多，可先绕行]
我们先来看多项式的概念。
一般的小学课本中，加减乘除四则运算的主要数学工具是“竖式”。
在漫长的数学发展史上，竖式的出现，具有里程碑般的重大意义。
比起算盘、算筹等更加古老的计算工具，竖式具有重大的优势，
整个计算过程在纸面展开，一目了然，数位对齐明确，进位借位清晰。
直到今天，竖式仍是小学课本里的重要数学工具。
遗憾的是，竖式尽管形式简便，却难以清晰表达每一步计算步骤，
从而阻碍了学生对数学思想原则的深入把握。
说得严重点，竖式，已经成为了学生通往数学思想之路的一道“障”。
本书放弃竖式，代之以“多项式”。
多项式，是整个数学体系中最为重要的数学表达形式之一。
多项式的基本概念很简单，就是一个多个加项的加法合式。
其中的加项可能有负号，那就体现为减法。
就是这么简单的一个形式，成为了数学中表达“数”的最通用形式。
从高等数学的观点来看，所有的数字，都能够表达为“幂级数”多项式。
比如，十进制数字543210，其“幂级数”多项式如下。
543210 = 5 X 10^5 + 4 X 10^4 + 3 X 10^3 + 2 X 10^2 + 1 X 10^1 + 0 X 10^0
为了行文方便，本书采用计算机程序中的乘方符号“^”来表达幂的乘方运算。
“^”之前是底数，“^”之后指数。
一些读者可能对幂、级数、底数、指数这些概念已经陌生了。
没有关系，这段可以跳过去。
后面的章节中，本书会循序渐进，逐一讲解这些概念。
相对于竖式，多项式的优点如下。
交换律、分配律、结合律是数学运算中的基础“三定律”。
小学生在多项式展开合并的过程中，能够直接体会分配律、交换律、结合律的数学原理。
而且，易于推出速算规律。几乎所有的速算规律都是应用“三定律”推导出来的。
除此之外，多项式能够清晰表达每一步计算步骤，体现其中的重要数学思想。
竖式无法应用“三定律”，无法推出速算规律，
无法一步步清晰体现具体计算步骤，更无法体现重要数学思想。
相对于多项式，竖式有两条形式上的优点。
第一点，竖式在数位表达、对位移位表达上，清晰简洁。
第二点，竖式比多项式少写了很多展开项。
对于第一点，多项式的移项操作熟练之后，在数位对位方面，能够全面超过竖式。
对于第二点，多项式的同样可以省略大量的中间展开合并步骤，只留下关键步骤，既保留优势，又弥补劣势。
综上，本书弃用竖式，采用多项式。
本书的各种数量模型表达，也是围绕着多项式来搭建的。
数学中，，最重要的数量表达法，叫做“进制”表达法。
我们日常中使用的数字，都是“十进制”数字。
其构造过程是这样的，我们先把具体物体分成十个一组，剩下的数量（即余数），就是个位数，组数就是十位数。
比如，有三组，剩下五个，那么，十进制数字就是“35”。
这个分组构造的过程，实际上是一个减数相同的“连减法”。
从总数量中，每次都“去除”一个“10”，最后，剩下的“余数”就是个位数。
我们知道，这种减数相同的连减法，实际上就是“除法”。
严格来说，叫做“带余除法”——即，带有余数的除法——只能应用在整数领域。
“带余除法”是整个小学阶段中，最为重要的数学运算。
“带余除法”是所有进制表达法的基础，也是重要数论概念“同余”的基础。
“同余”是中小学数学竞赛中的重要题型，也是大数运算校验中的重要实用方法。
“带余除法”的本质就是把一个数量分成两项。
第一项是除数的“倍数”，第二项是小于除数的“余数”。
“倍数项”加“余数项”，构成的二项和式，就是本书中最为重要的多项式。
我称之为“倍余式”。
本书中，“带余除法”和“同余”的讲解，都是围绕着“倍余式”的构造。
针对“倍余式”的构造，我特意设计了一个模型构造过程方法——层柱法。
层柱法的意思是，一层层地累积立方格，构造出一根根等高的立柱。
这实际上就是除法的流程。
每一层的立方格数量都相等，都等于“除数”。
我称之为“除数层”。
最后构造出来的立柱的数量——“柱数”，恰好就等于“除数”。
立柱的高度，就等于“商”。
层柱结构，就是一个长方形，也叫做矩形。
“层”代表横向维度，对应长方形的宽度；“柱”代表纵向维度，对应长方形的高度。
多余出来的不够一层“除数层”的立方格，就是“余数”部分，构成“余数层”。

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下面举个简单的例子。
比如，我们有八个立方格。这里用八个“口”字表示。
口口口口口口口口
我们需要把这些立方格分成三根柱子，柱数（即除数）等于三。
构造过程如下。
首先，我们从原有数量中“去除”三个立方格。
我们就得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
口口口
原有数量变成了五个立方格。
口口口口口
我们再从其中“去除”三个立方格。
我们又得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
我们把这一层新的“除数层”叠放在第一层“除数层”上面，我们就得到了两层“除数层”。
口口口
口口口
这两层“除数层”构成的模型，我们称之为“倍数项”模型。
“倍数项”模型就是一个层柱模型。
层宽就是柱数，也就是除数，等于三；柱高就是层数，也就是商，等于二。
原有数量现在只剩下两个立方格，不够三个，不够一层“除数层”。
这两个立方格就构成了一层“余数层”，我们也可以称之为“余数项”模型。
口口
原有的八个立方格就分成了两项——“倍数项”和“余数项”，对应一个“倍余式”。
口口口
口口口 + 口口
请注意，上面的加号“+”只是在文中使用，方便师长阅读。
上述的模型，包括两项——“倍数项”和“余数项”。
其中的“倍数项”模型由三根立柱组成，也可以称作“三柱型”。
除数是几，就分成几柱，就叫做“几柱型”。

学父五迁

在一般的小学数学课本中，“除法”的讲解方式一般都是“分堆法”。
比如，六个苹果，分给三个小朋友，怎么分啊？
你一个，我一个，他一个。一人一个。这么分下去。
最后的结果是，每个小朋友面前都有一堆苹果。
三个小朋友，就有三堆苹果。每堆苹果有二个。
这种“分堆法”有一个很大的问题，很难表现真实的“除法”算法。
真实的“除法”算法是连减法，每次减去相同的除数。
比如，这个分苹果例子中，就是不断地减去三。
但是，“减去三”这个操作，在这个例子中体现得并不明显。
你一个，我一个，他一个。一人一个。确实每次共减去了三个。
但是，小朋友在模拟分堆的过程中，并不会特别注意到“每次共减去了三个”这件事儿，
只会注意到每个人面前的小堆中有几个苹果了。
“层柱法”突出了“每次去除了三个”这件事儿，解决了这个问题。

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原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

04. 一生二

孩子到了上小学的年龄，基本上都能从“1”数到“100”了。
但我们不能认为，刚上学的孩子已经真正理解了这些“数”的含义。
为了保险起见，对于刚上小学的孩子，我设计了这么一套“计数”游戏。
这套“计数”游戏基于立方格数学模型。
为什么不从“扳手指数数”开始？
有这么几个原因。
第一个原因，手指数目有限。我们都听说过“手指头不够，扳脚趾头数数”之类的笑话。
第二个原因，手指长短不一，形态各异，“个性”显著，并不适合抽象出“数”的概念。
相比之下，豆子、珠子之间形态极为相近，而且个数不受限，比手指更加适合充当计数的模型。
当然，如前面章节所述，我认为，立方格这种“规整”的形状，是更为适合的计数模型。
随着学习的进阶，小学生将接触到“数轴”、“测量”等概念。
豆子、珠子只适合表达“离散”的“整数”，难以表达“数轴”、“测量”等概念。
而立方格则可以轻易地“数轴”、“测量”等概念。
因此，我主推立方格作为主要的计数模型。
手指、豆子、珠子等，则作为次要的计数模型。
多种计数模型轮换使用，能够帮助小学生建立不同计数模型之间“映射”的概念，从而抽象出“数”的本质。
“映射”是“集合论”中的概念，表示两种计数模型之间的一一对应关系。
“映射”同样是“函数”概念的基础。
“映射”是数学概念的重中之重，也是本书的重中之重。
本书的原则是，意会大于言传，尽量避免使用语言直接“灌输”，尽量帮助孩子在层层递进的游戏中体会“顿悟”的喜悦。
孩子初学计数时，师长不要急于求成，不要急于灌输数字符号的读写。
首要的任务是，帮助孩子建立“数量模型”的形象直观概念。
这个过程需要一步步来，慢慢来，一个数量一个数量的来。

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下面，我们从数量“1”开始。
师长进行示范，教导孩子进行“1”的计数动作。
(1) 把一个立方格摆放在桌面上。
(2) 用手指点着这个立方格。
(3) 拍一下手，口中念“第一个”。
(4) 口中念“共一个”。
可能会有人觉得，步骤太多，小题大做。
但这些基础步骤，是后面更复杂程序的基础。
孩子跟着师长的示范，照做几次。