“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

以上这些性质全都可以用整数数列表示出来。

可以在 0-x-y 坐标系上描绘出 整数点坐标，连接出图像。

整数点描点熟悉之后，可以试着构造 分数点、小数点。
尤其是 -1 < x < 1 的区间中。

学父五迁

以上是定性分析抛物线函数图像的性质。
下面是定量分析的代数形式推导。

学父五迁

初等数学的配方法，比较复杂。
不过，一元二次函数，比较简单，初等数学的配方法，也可以勉强使用。

y = a x^2 + b x + c

配方法的目的就是把那个一次项  bx  从公式中消掉。
公式中只剩下  二次项（平方项）  和 常数项（余项）。
常数项是不变的。
二次项，有一个很好的性质，永远大于等于0，可以求出等于0时的最值。
问题就简化为二次项内部的那个式子了。

y = a x^2 + b x + c

y = a ( x + b/2a)^2 + (c - b^2 / 4a)


简化起见，令 余项

(c - b^2 / 4a) = d

于是，

y = a ( x + b/2a)^2 + d


x = -b/2a 时，

平方项就等于 0，这个式子就等于 d

于是，

x = -b/2a 时，

这个式子就达到了最值。
最值就是 d。

a > 0,  d 就是最小值。

a < 0,  d 就是最大值。

学父五迁

求导的方法就简单许多。


y = a x^2 + b x + c

y' = 2ax + b

当 y' = 0 时，y 取得最值。

y' = 0 = 2ax + b

解得 x = -b/2a


代入

y = a x^2 + b x + c

得到

y = c - b^2/4a = d


这就是最值。

最大值最小值的分析，只需要一些定性分析。

(-∞, -b/2a) 和 (-b/2a, ∞) 这两个区间上，y 的变化情况。

学父五迁

如果是我来教学设计的话，我会在很早的阶段（早到刚上小学的时候），就引入数学模型变化量的思想（多元微积分的方向导数，全微分等），用小立方格就可以摆出来。
12周岁之后，全面引入形式推导符号，包括微积分符号。
因为，微积分本身并不难理解，但是，形式符号不太容易理解，尤其是一下子就接触到大量的求导公式。
如果这些变化率的各种情景早已玩得烂熟，那么，这些符号、公式，就一点难度都没有了。

Elf

楼主，我又来问问题啦。请看题板：

如果点（x,y）和点（a+b, a-b）和（a-b，a+b）的距离相等，请证明 x=a, y=b.

学父五迁

Elf 发表于 2016-2-2 20:42
楼主，我又来问问题啦。请看题板：

如果点（x,y）和点（a+b, a-b）和（a-b，a+b）的距离相等，请证明 x= ...

我能一眼看出，
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。
因此，满足条件的点就是 x=y

至于题目的结论，我证明不了。

Elf

学父五迁 发表于 2016-2-2 23:20
我能一眼看出，
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。

你都证明不出来，我就可以怀疑题目出错了