如果孩子可以不被教——我对自主学习的一些思考

汐岩

我发现自己那时候还是挺痴迷蒙和华的。
泡泡从1数到100的能力，我觉得她可能是操作蒙氏的一百板起了一些作用，发现了数彼此的规律。现在这些教具我都不是太赞成了。

汐岩

泡的数学（之二）(2012-03-21 08:10:28)

泡现在6岁2个月了，这几天很巧有好几个妈妈提到以前写的那个《泡的数学》，我就又回去看了下，看完才发现泡的数学又进展了，就是进展得好像有点慢，呵呵。。。

泡现在的水平呢，10以内的加法都问题不大了，比如3+4现在已经很容易了，但是超过10的还是搞不太清楚；而减法呢则基本不会，玩卖东西游戏时，我买6元的东西，给她10元，她问“妈妈我应该找给你多少呢？是3块吗？”我说：“不是”，泡说“那是4块？”我说“嗯，是的。”呵呵，继续发扬了“瞎蒙”的良好传统。

不过说起来，我觉得按加减的体系评价泡的数学能力好像不太合适，因为她对数学的理解好像跟我们并不一样。

另外泡终于明白10个100才是1000了。。。

前一阵有个小事，我觉得很有意思，值得记下来。是1月份的时候，泡过生日，送给泡泡的礼物里有那个韩式的海苔，后来只剩下最后一包了，我说你和兜兜分开每人一半吧，泡说好，就开始数海苔的片数：“一、二、三、四、五、六、七”，数完泡泡就愣了说：“这怎么分啊？。。。。。要不。。你吃一片吧？”我觉得意外的是泡怎么会数完立刻就知道没法分呢，这是个除法问题，但泡连减法都还不会呢，所以我感觉按照她目前的数学水平，即使能得出来，也应该会有一个思考的过程，比如“一共七片，三加三是六，四加四是八，呃，那这七片怎么分呢？”但是泡没有这些中间过程，数完立刻就难住了，而且还得出了一个“你吃一片吧”这个在数学上完全正确的解决方式。。。

后来我想，她应该是通过对7这个数字的理解来得到的，比如她在操作教具的时候，发现有的数字可以分成一样的两堆，有的数字却怎么也分不成，7就是分不成一样的两堆的数字；或者，她是通过2倍数的概念，因为泡泡最近还是总说2倍数的问题，“妈妈，4加4等于8是吗？。。。5＋5等于10是吗？。。。。6加6等于12对吗？”我问她怎么知道的，她说我就是觉得是这样。我说那5加4等于几？她说“5加4。。。。我不知道。。。。”知道泡的数学水平了吧？所以我才觉得泡分海苔的那个反应很出乎意外，我不理解为什么连5加4都不会算的泡泡却会立刻得出“7除以2得不到整数”——也就是7是奇数呢。我也从中明白她并不是按照我们所用的数学模式来思考的，在她那里，加减乘除都是相通的，并没有绝对的界限，它们都在对某一个数量本质的理解上得到统一。也就是说如果对这个数字完全理解了，那么有关它的加减乘除奇数偶数余数就会全都清楚了。。。。

还有个小后续，当时我听了泡的为难之后，说，“要不我把这一片给你们掰开吧”，结果泡立刻说“奥对”，泡说这个“奥对”的时候，表情很可爱，有点恍然大悟又有点不好意思，可能觉得刚才只能让我吃一片才能解决问题的办法有点笨吧。。。然后我掰开一片以后，泡就数“一，二，三”，然后放在一堆，再放上半片，又“四、五、六”，放在另一堆，放上半片。从这里我因此知道她不但知道7是奇数，而且还清楚地知道7是由两个3和一个1组成的，这个已经成为自然的感觉，并不需要一片一片来分了。。。

这就是蒙氏孩子对数字的理解。从我个人来说，我觉得这个理解才是对数字真正本质的理解，这个感觉才是真正的数学感觉。华德福可能觉得这种本质太庸俗了，但是华德福的那些对数字的本质理解却解决不了真正数学的问题，还是必须借助加法表、乘法表才能得到答案。

真正的感觉是什么呢？我觉得就是一边哼着歌一边还能听懂英语新闻里说的什么事，就是不需要借助记忆或者公式或者歌谣而本能地知道答案是什么。知道一个数字带来什么感觉，那个是艺术感，而不是数学感。

泡快要上小学了，我在纠结让不让泡去华德福的小学，因为我对蒙和华痴迷这么多年了，上华德福小学当然是n久的梦想，可是临近选择了，我又开始焦虑了，除了担心华无处不在的“红歌”，另外的一个担心就是华德福的数学，我不想泡的这种数学感觉受到干扰，因为破坏永远都比建立要容易得多。其实如果我们不去干扰孩子，她们就会慢慢迎来自己的敏感期，然后在成人恰当而谨慎的共鸣与回应的协助下，饱满地完成这一方面的感觉积累，拥有自己完整的建构曲线——不管是道德感，还是数学感——但是如果旁边有个吵人的钟声总是不断地在干扰孩子，那孩子真正内在的建构活动就会受到抑制。

前几天去春之谷，听到老师讲怎么教给孩子数字“真正的本质”：1代表整体，2代表天地，3代表天、地、海洋。。。当时我就觉得太受打击了；但是去日日新呢，又要放弃华德福那么诱人的教学体系而且还要每天读《大学》和《中庸》。。。要做出一个合适的选择真是太考验人的承受能力了。。。

另外再记一下泡（目前我感觉到的）数学水平：泡对数字的理解，非常清晰的好像暂时只到7或者8，对加法的感觉胜于减法，给10元买6元的东西该找多少搞不太清，不过给10元买8元的东西泡知道应该找2元。。。另外泡最近超级喜欢玩卖东西的游戏，加上泡从春节前开始每天赚“5元加小费不定”的工资，所以目前有一个热点是钱的换算找零，泡对各个币种从1毛到100间的换算都基本明白了，经常会用各种形式跟我们换钱。不过，如果她需要数出25元钱来还给我，还是数不清楚，泡知道5元加5元是10元，两个10元是20，但是当给我数25元的时候，她就把这些忘了，会先数两个1元的“一，二”，然后再拿一个5元的自己空数“三，四，五，六。。七”，然后再拿个5元的继续空数“八，九，十，十一。。。十二。。十三。。”结果就数乱了。。。不过最后的结果误差也就2、3元，所以我觉得还是挺不错的。。

泡的老师向我推荐大富翁的游戏，说，到这个年龄的孩子都会对钱和交易感兴趣，因此开始疯狂地迷恋大富翁。。看来这也是孙园孩子的一个传统了。。。我打算去找找。。。另外昨天拿到泡去年下半年的工作观察记录，看到泡除了原来熟悉的二倍体之外，开始比较多地操作二项式、三项式、纺锤棒箱。。。我问泡纺锤棒箱是什么，泡说不知道。。。如果泡和兜入华德福，那我就要开始补教具的课了。。。

另外，我看到上次有妈妈问我蒙氏教具的问题，今天想起来这个帖子，可以看一下，关于数学教具的
http://bbs.liyueer.com/viewthrea ... 1&authorid=4366

汐岩

大富翁那个，后来也找过，感觉太难了，泡在水学苑跟同学玩过，没有太大兴趣，所以至今也还没买。
“华德福诱人的学科体系”，也体验过了

汐岩

再说除以3的问题，非常感谢学父把这个问题提出来，让我又发现了惊喜。

泡泡之前算的是12/4，但是我文章里写错了，写成12/3。学父很好奇泡泡怎么解决这种问题。之前我还给泡泡出过两道题，发现跟200/5那种题比较起来，乘法表内的除法她反而会算得更慢些。

周三，兜兜上幼儿园了，只有我和泡享受二人世界，泡让我给她出题算，我就出了12/3。当时我自己认为，这个题目可能看不出泡泡的思维模式，因为对她有些简单了，她可能一下就想出来了。果然，泡泡拿到题目后，就画了12条线，然后数，过了1、2分钟，告诉我是4对吗？我说对的。

然后我又出了一题：27/3。泡泡拿到题目之后，又画了27条线，我心想，这次你就数一阵吧。泡数了一遍，问我：“妈妈，你给我出的题目里面有点吗？”她是说小数点，我说没有，泡说：“你先不要给我出带点的，那样太复杂了，我还算不了。”我同意。于是泡继续数了：“一二三四五，一二三四五。。。。”过了一两分钟，泡泡问我：是9对吗？这次我觉得很意外，因为把27条线分成3份还是没有那么容易分开的，我问她怎么算的，泡说：

“我用8数，数完刚好剩下3条线，所以答案就是9了。”

我说，你怎么知道要用8来数呢？

“我先试了5，发现太小了，然后。。。又试了7，发现还是太小，又试了8，用8 数完之后，刚好就剩3条线了，所以我就知道答案是9。”

我又问：你怎么知道那些数都太小了呢？

泡说：“因为要刚好分成3组才行，如果组数比3大，就说明这个数太小了，要换成更大的数。如果数完发现分成的组数比3还小，就说明这个数太大了，要换成小点的数再数。”

我觉得这个思路很高级，原来泡泡并不是机械地数，她是一边数一边不断推理确定答案的范围的，所以试了三次就得到答案了。

听完泡泡的阐述，我立刻做出一个决定，收藏泡泡的草稿纸

我又回头看了12/3，问她也是这么算的吗？她说也是的，而且那个她试了很多次，很费事。我问她的思路顺序，但是她已经不记得了，我们分辨了半天上面的记号，还是没法确定到底都依次试了哪些商。于是，这问题就不幸成了一个迷了

汐岩

我们又继续算了几道题，她对数字的感觉好像更加准确了，因此速度也更快


35/5
试8,6，推出答案为7


32/4
试9,7，推出答案为8


18/3
试5，推出答案为6

汐岩

后来我又给她出了一个大数的：56/8

泡泡拿到了就开始画线，“1,2.。。不行，这个不能画线，太多了。。。只能用脑筋想了。。。。。。嗯。。。不行，想不出来，画线试一下吧。。。12345678。。。”过了3分钟，泡得到答案，是7。我问她怎么算的，她说先用9，再用7，但是9数错了一次，7也数错了一次，我说你怎么能够知道数错了呢？她跟我解释了半天，我还是没听懂，大体就说因为她非常想得到这个答案，但是9不对，8也不对，不会那么巧的，那就是7，可是7数完了还多出2个，然后她就觉得，不对啊，7应该很像了啊，所以又数了一遍，发现答案确实就是7。

我听得发晕，为什么能知道不对呢，为什么觉得很像了呢？于是我自己画线做了一次，还是没能体会到他说的应该很像了的感觉，而且我发现这个方法很考验脑筋，要看分出来有几组，这个组数是多了还是少了，而且还可能数错了，像泡泡数错了两次的话，就是做了4次分组，有4组分割线，这4组分割线把我彻底搞晕菜了，所以我只画了正确的7和9两组线，还要用不同颜色的笔来区分一下才能看明白



但是泡泡这个乱糟糟一堆，4组分割线完全分不清楚哪个哪个了，我觉得她能从这么乱一堆里面得出正确答案真是太奇怪了。

汐岩

还有这个，当时算完了我想把这些纸整理起来，刚拿起来，泡泡发现这个答案的位置还空着，说：这个我做了吗？然后就用笔在立着的纸上画线分组，肯定画不出清楚的线了，只是象征性有点痕迹，我觉得她是在做无用功，可是发现她的思路是清晰的，先试了6，发现太小了，又试了8，于是得到答案9，就把纸放在桌上把9写在上面。她在上面画了6组分割线，然后还能分辨出第六次画的是哪一组，啊，我简直觉得小孩有特异功能了。我问她怎么能分辨出哪一组是刚刚画的线呢？她说她每次的轻重都不一样，所以能看出来，可是我看着她画的线感觉都是一样的虚弱，我怎么分辨不出来呢，真是神奇，或许她们对图像的敏感度是我们很难体会到的吧。

学父五迁

我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", "100"等）

27 / 9

纸上画法，同泡泡的方法差不多。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, / 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, / 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

泡妈觉得这种教具利弊如何？

还有一个想法，是根据插板的位置折行。

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1


口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口

这样，更能体现除法和乘法之间的关系。
这算不算过度启发？

汐岩

汐岩 发表于 2014-11-22 20:02
后来我又给她出了一个大数的：56/8

泡泡拿到了就开始画线，“1,2.。。不行，这个不能画线，太多了。。。 ...

学父五迁  看来，泡泡还不知道 56 / 8 = 56 / 2 / 2 /2 。可以从 28 / 4 和 56 / 4 开始试一下。

之前给泡泡出过一道36/4，泡泡是这样算：

把36分成30+ 6

先把36  “劈成两半” ：30/2=15,    6/2=3,   所以15+3 是18，

然后再把18  ”劈成两半”：10/2=5,    8/2=4,     所以5+4=9.

当时是要睡觉了，已经在床上了，她没有纸笔，凭脑袋想，错了好几次，才算对。所以我感觉她是会这些方法的，只是没有画线顺手，她还需要积累一些对数的感觉，然后再用这些会更加顺畅。


还出过一个120/5，

类似，把120分成100+20

先把100/5，等于20,   
再把 20/5，等于4   
所以20+4=24

也是没有纸笔，算错了几次，第一次得到的是122.5，我说不对，她说，可是需要把5分开呀。。。后来又得到6，我说我知道你为什么会得到6，但是不对，后来她又仔细想了想，说，“哦，我明白了，我知道错在哪儿了。。。”然后得到24。

对100，她是按10为单位来算，对20，就要降到1为单位来算，这个转换她还不熟练，感觉100以上的还是会吃力些。

周五我们也算了题，同样有惊喜，其中也包括上面说的这个单位转换的问题，下回详解

汐岩

学父五迁 发表于 2014-11-22 21:02
我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", ...

以前我也想过一些如何引入数学的方案，包括，比如，不提供任何工具，让两个组的孩子去把一块矩形菜地平均分成两半，每组一块，以此来引入测量单位、测量方法，面积，乘法等等，然后做单位方块模具，用单位方块去排各种矩形，来引入乘法，那时候觉得一个学期能够把这些透彻搞明白就很好了。。。但是后来对泡泡的观察，我的感受是：成人和孩子的思维差别太大了，成人觉得做不到的事情孩子却很容易，成人觉得容易的孩子可能觉得很难，包括泡泡数线的方向，我在56/8那张纸上右上角标了一个“起点”，因为我当时想看看泡泡试商的顺序，问她从哪边开始数的，泡泡说是从右边数到左边，然后下来再从左边数到右边。。所以对于方案，我现在会觉得没有思路了，觉得成人的思维系统跟孩子的一比往往显得笨重刻板，其实她们理解这些概念是没有任何障碍的，需要的只是按照她们的思路去不断突破思维模式界限，然后解决越来越广泛普遍的问题，也就是只需要去按顺序给出题目或者问题，让她们去思考解决办法，在这种计算中加深理解。不过，这个顺序应该怎么给，我觉得其实越来越没有信心了，因为确实觉得孩子的思维跟我们差别好大。如果我教她，会让她把线画得更清晰规整些或者用圆球代替线，以免和分组线混淆，但是我发现她这样乱糟糟弄一堆，同样可以思路清晰地计算，而且到了第二天，我才知道她用线表示1，用圆球表示10。我就觉得没有建议她把线改成球是很对的，我发现其实她的数学感觉比我好很多，解决问题也从不局限任何固定模式，我现在真的觉得我没有资格教她了，给她出题都觉得有些不确定里面有多少固定模式在影响这个方向。

汐岩

学父五迁 发表于 2014-11-22 21:02
我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", ...

还有一个想法，是根据插板的位置折行。

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1


口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
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这样，更能体现除法和乘法之间的关系。
这算不算过度启发？

第二种方法，有点像蒙氏教具的除法板，就是拿27个小球，然后分成三组，就是一行放3个，直到放完，然后数数有多少列。我以前也认为泡泡肯定是那样算除法的，但现在发现泡泡是这样算的，我还想，是不是在纸上不好那样操作，但是，用这样的方法，对她的思维推理能力要求更高，因此也会觉得更有意思，她觉得除法比乘法有意思得多。而且，这样试商其实还包含了公约数的概念，也就是有的数，试的那个商不一定是正确答案，但是同样可以刚好分完，还有试一次商，可以数数剩下的或者不足的线数，有的就直接能得到答案了，有的还得不到，我感觉这个方法里面包含的信息远远超过了蒙氏除法板的那个方法。但是如果成人给孩子引入，肯定会选择那个，因为觉得那个更直观更容易理解，这个难度很大，但是，孩子更习惯的其实反而是这个。

汐岩

泡泡对这种做除法的方法是这样阐述的：

"就是要多试几次，有时候试完了发现答案就在眼前了，有时候试完了还不行，你就要看看多了还是少了，多了就要换个小点的，如果少了就要换大的数，也有时候只要看看剩下的是几个只要再加一下就可以了。"

我用这个方法试了，觉得还是挺晕的，因为经常把试的商和组数弄混，我觉得这也是这个方法的一个弊端把，泡泡做36/6，做完了以后说，“妈妈我不喜欢这种题目，答案和组数一样的”，估计就是太晕了。但是到现在算了15道题，都是一次就算对了，感觉她用起来还挺顺手的。等到发现这个方法不能用的情况，她肯定又会想出别的方法，我现在对这点比较确定。

所以我暂时对教材是没有思路了，打算先观察下她的轨迹再说。

学父五迁

汐岩 发表于 2014-11-22 22:16
第二种方法，有点像蒙氏教具的除法板，就是拿27个小球，然后分成三组，就是一行放3个，直到放完，然后数 ...

每次去除3个的思路，实际上是连减法。
我之前也是这么设计模型操作的。

看到泡泡的思路之后，我就放弃了“连减法”的思路，而是换成了隔板法。
我的意思是，画线分组完成之后，即，除法完成之后，已经出结果了。
再进行折行，对齐每一行。

另外，泡妈说的划线试商法（我称之为隔板法），能够试出其他"因数"，非常有意义。
这个方法值得深入探究。

注：数学课本中，约数确实有"公"约数的意思，一般指两个或两个以上的数的相同因数。这个名词可能是来自于分子和分母之间的约分操作。
这种名词，真的是没啥意思。若不是想到孩子可能要参加考试，因数，约数都可以随便用的。

学父五迁

汐岩：  记得以前孙园一个孩子，是泡泡的好朋友，她是通过看钟表来做加减法的，问她3+4等于几，她就马上去看墙上挂的表，然后就知道是7.孩子们的脑袋，一个个都是外星球思路：D  发表于 2 分钟前

哈哈。
这个钟表模型好。

涉及了很多有用概念。

圆。
直角。
十二进制。
六十进制。
圆排列。
复数乘法。

我一直在设想，如何设计一个圆排列的故事和相应操作模型。
四个小朋友，围着圆桌，排排坐。
相对位置的排法有几种。
想以此巩固乘法原理思想，暗示排列组合，暗示圆周角，暗示复数乘法，等等。

小宇妈妈

这贴子泡妈的观察日记很好看，谢谢泡妈的分享。

汐岩

小宇妈妈 发表于 2014-11-25 17:13
这贴子泡妈的观察日记很好看，谢谢泡妈的分享。

以后这帖子里就全都是观察日记了，希望保持住宁静和纯洁:)

尘埃落定

所以，我们最终学会了多少东西，并不取决了老师教了多少，而是取决于我们实际用了多少。为什么到初中阶段的知识我们就用得很少了呢？因为我们的时间都被用来学习了，根本没有机会去做真实的事情，去独自探索世界，所以也根本没有机会去用到初中的知识。所以，我希望把时间留给孩子，因为她们自己探索、自己尝试、自己做的真实的事情越多，最终学到的东西才会越多。

赞！

尘埃落定

关于教育的选择。。。

我真的觉得都是缘分

就像娃跟父母的缘分一样。。。

投胎。。。。投谁家呢。。。。

所以，没有正好的教育，只有缘分的父母

duducurl

来泡妈贴中学习！

虽然观点和泡妈不同，但对泡妈的科学记录精神和执行力非常敬佩，献花

每每

有意思的帖子。