小学奥数 -- 方程法行程问题

学父五迁

小学奥数 -- 方程法行程问题

题目：

快慢两车，车速比如下。

快车 : 慢车 = 7 : 5

快慢两车相对开出，4小时相遇。
相遇点距离中点48公里。

请问，两车速度和原距离。

学父五迁

解答：

假设慢车速度为 5a，快车速度为 7a。
4小时，慢车行程为 20a，快车行程为 28a。

学父五迁

相遇点距离中点48公里，说明快车比慢车多走了96公里。

这个96公里怎么来的？
画一个图就看出来了。
慢车位置相对于中点，在另一边画一个对称点。

下面的图示，看起来比较复杂。
实际上，只是为了详细，画得比较多。


A----------------------M----------------------B

A点是慢车出发点。
B点是快车出发点。
M是AB的中点。

假设两车在P点相遇。

A----------------P-----M----------------------B

这时候，MP的距离是48公里。

那么，
慢车走的距离是 AP，
快车走的距离是 BP。

快车比慢车多走的距离就是 BP - AP

为了方便观察这个距离，以M为对称点，
在M的另一边做P的对称点，令 MQ = MP。

A----------------P-----M-----Q----------------B

从图中可以看出，PM = QM,  BQ = AP。
为什么要做这个对称点？
这里要做一个思维游戏。
想象，在快车慢车同时出发的那一刻，另一列慢车（两列慢车速度一样）也从B点同时出发。
那么，从A点出发慢车走到P点的时候，从B点慢车出发的慢车就走到了Q点。
BQ 就等于 AP， QM 就等于 PM。

那么，BP - AP = BP - BQ = PQ

而 PQ = 2 PM = 2倍的 48 公里 = 96 公里。

学父五迁

28a - 20a = 96

a = 12

于是，
慢车速度为 60 公里/小时，
快车速度为 84 公里/小时。

两车相距 4 (60 + 84) = 576 公里。

伏地的小草儿

你的书出版了么？想买本看看

学父五迁

伏地的小草儿 发表于 2015-12-21 16:30
你的书出版了么？想买本看看

咳。尚未找到有回音的出版社。
我只能不断修改，扩充，把各个科目都囊括进来，看看有没有市场。

学父五迁

小学奥数 -- 方程法行程衍生问题1

题目：

AB两车，车速比如下。

A车 : B车 = 5 : 7

AB两车从AB两点同时相对开出。
A车从A点向B点方向开出。
B车从B点向A点方向开出。
如图所示。

A------------------------------------B

AB两车，在P点相遇，如图所示。

A--------------P---------------------B

请问，
A行驶的距离，占整个距离的比例，即，求 AP/AB
B行驶的距离，占整个距离的比例。即，求 BP/AB

学父五迁

解答：

这个问题很简单。一眼就可以看出。

A行驶的距离，占整个距离的比例，即，AP/AB = 5/12
B行驶的距离，占整个距离的比例，即，BP/AB = 7/12

如果无法一眼看出，那么，可以列出如下方程。

行驶时间相同，那么，A车和B车的行程比就等于速度比。

A车 : B车 = 5 : 7

假设A车行程是5a，那么，B车行程就是7a。
整个距离就是 5a + 7a = 12a。
于是，比例就求出来了。

学父五迁

题目：

继续上面的题意。
假设整个行程的中点是M，如图所示。

A--------------P---M-----------------B

请问，中点M和相遇点P之间的距离，占整个距离的比例。即，求 PM/AB。

学父五迁

解答：

AM占整个行程的 1/2。即 AM / AB = 1/2
AP占整个行程的 5/12。即 AP / AB = 5/12

PM = AM - AP

PM/AB = (AM - AP)/AB = AM/AB - AP/AB = 1/2 - 5/12 = 1/12

如果对上述分数算法不解的话，还可以列出如下方程。

假设A车行程是5a，那么，B车行程就是7a。
整个距离AB就是 5a + 7a = 12a。

行程的一半就是 12a/2 = 6a。

那么，PM = AM - AP = 6a - 5a = a

PM/AB = a/12a = 1/12

学父五迁

题目：

继续上面的题意。

A--------------P---M-----------------B

已知，中点M和相遇点P之间的距离是 48 公里。

整个距离(AB)是多少？

学父五迁

解答：

这个问题很简单。

48 × 12 = 576

学父五迁

题目：

继续上面的题意。

A--------------P---M-----------------B

请问，AB两车各行驶了多少公里？

学父五迁

解答：

A车行驶了 (48 × 12) × 5/12 = 48 × 5 = 240
B车行驶了 576 - 240 = 336  （或者 48 × 7 = 336 ）

学父五迁

题目：

继续上面的题意。

A--------------P---M-----------------B

已知，AB两车，各行驶了4个小时。

请问，AB两车的时速。

学父五迁

解答：

A车时速为 48 × 5 / 4 = 60
B车时速为 48 × 7 / 4 = 84

学父五迁

小学奥数 -- 方程法行程衍生问题2

题目：

AB两车，车速比如下。

A车 : B车 = 5 : 7

AB两车从AB两点同时相对开出。
A车从A点向B点方向开出。
B车从B点向A点方向开出。
如图所示。

A------------------------------------B

AB两车，在P点相遇，如图所示。

A--------------P---------------------B

假设行程中一点 C。

A--------------P---------C-----------B

C点和B点的距离BC是整个距离AB的 1/3。
即，BC/AB = 1/3,  AC/AB = 2/3。


请问，
P点到C点的距离，占整个距离的比例。即，求PC/AB

学父五迁

解答：

AP/AB = 5/12
AC/AB = 2/3

PC/AB = 2/3 - 5/12 = 1/4

学父五迁

题目：

继续上面的题意。
假设PC距离是144公里。
请问，整个距离AB是多少公里？

学父五迁

解答：

PC/AB = 1/4

AB = 4PC = 4 × 144 = 576