小学数学自编教材原则初探

学父五迁

小学数学自编教材原则初探

免责声明：
个人极端偏见。风险自负。

本探讨的目标是“具体知识点”的“安全底线”，并非形而上的“数学思维”。
本探讨并不能保证数学思维的“建立”。
毕竟，数学思维的涵盖面太广了。
我自己都不知道有啥，遑论探讨？

本探讨只是“尽量少一点破坏、限制”。
本探讨做不到“不破坏、不限制”。
如果我之后找到更少破坏、更少限制的资料，
我就会推翻这份资料，重新建立安全标准。

就比如，
我自认为自己的安全标准很高了。
结果，看到泡妈的留白、自悟的观察记录之后，
我不久就意识到，泡妈的安全标准比我高多了。
经过一番权衡，我最后还是放弃了自己的原有设计。
我采用了比泡妈更高的安全标准，准备重新设计。

两害相权取其轻。
做不到绝对无害，只能做到相对无害。

学父五迁

我考察的知识点体系，局限于“应试”教学大纲。
应试，指的是具有重大资源分配意义的“选拔考试”。
包括自考、高考、中考，以及中学到大学的种种选拔意义的数学竞赛。
这些考试是直接针对学生的选拔。
日常测验、期中期末之类的用于选拔优秀教师的应试，不在我考虑之内。

所有阻碍“选拔考试”目标的知识点，我会尽量甄别出来。
因为，我考虑的是“底线”。
这就是说，我是为可能受局限的学生考虑的。

目前，我能确定的负面意义的知识点，只有一个，就是竖式。
关于竖式的讨论已经够多了，暂且不论。

学父五迁

除了竖式之外，应试体系中，仍然有密密麻麻的大量知识点，怎么办？
万一“排名垫底”的学生，学不过来这么多知识点，怎么办？
只能先挑选一些重点部分，优先考虑。

这些知识点之间，存在顺序关系。
出于“安全”考虑，我尽量按照学习顺序排列这些知识点。
尽量不让“算法套路”影响“留白、自悟”。
我采用一些标签来标记下列的知识点。

“自修”表示，师长只需要给学生一点启示和相关资源，学生自己领悟就行了。

“慎修”一般用于标记那些“必须”掌握的算法套路。至少，我暂时找不出更好的替代品。
“慎修”需要师长更加精心的设计和理解，以减少其可能存在的负面影响。

如果标签前面加上“自考”两字，
表示这个知识点将主要在大学的高等数学中起作用，
不一定会在全国统一高考中起重要作用。

如果标签前面加上“竞赛”两字，
表示这个知识点将主要在中小学数学竞赛中起作用，
不一定会在全国统一高考中起重要作用。

学父五迁

郑重提示：
下文中提到的所有知识点，最好都在设计好的应用情境下引入。
比如，故事、游戏、模型、实践，等等。
尽量不要直接作为知识点来引入。
因为，知识点只用于应试，万一应试失败，相对成本就太高。
如果是情境的话，就会保留更多的实用意义，以及得到更多的乐趣，从抵消学习成本。

重要知识点的学习顺序。

(1) (自修) “进制数”的模型：基本单位数量，10的幂（进制维度）
(2) (自修) 准坐标系上的整数点集：“数”与“几何”的纽带。反射、偏移，割补，切变.......
(3) (自修) 计数的应用情境：枚举、组合、排列、初等图论，进制数字编码的本质。
(4) (慎修) 同余：十进制数位上的个位数的真实含义——除以10的“余数”。
(5) (慎修) 师长设计，学生自行体验乘法交换律、分配律、结合律，自行构造并体验乘法表中的各阶等差数列、矩阵特性。
(6) (慎修) 多项式：学生应用乘法各定律，自行推演多位数的乘法展开，自行构造超过9阶的多位数乘法表。
(7) (慎修) 整除的应用情境：师长设计，学生自行体验。乘除法的逆运算关系，除数与商的交换律关系。
(8) (慎修) 同余：学生自行推出多位数的除法套路——连减法。
(9) (慎修)“数”（“式”）的“自由维度”：（质）因数分解，公约数（公因数），公倍数，互素，互质。
(10)(慎修) 同余：学生自行推出多位数的公约数算法套路——辗转相除（减）法
(11)(慎修) 同余：学生结合“质因数分解式”，简化“辗转相除法”的计算。
(12)(自修) 分数（“式”）：学生自行推演通分、约分。
(13)(慎修) 分数（“式”）的应用情境：比例，斜率，概率，等等。
(14)(自考慎修) 利用故事情境引入矩阵（行列式）的初等行变换：加减乘除，单元矩阵的相互转换
(15)(自修) 幂（进制维度），整数和小数的数量级（10的幂次）。
(16)(自修) 分数与小数的转换：分母为10的幂次，学生自行演练。
(17)(自修) 同余：循环小数的循环节的小数算法，学生自行推演，体验等比数列，收敛级数。
(18)(自修) 同余：循环小数的循环节的整数算法，上一次的余数，乘以10（升幂），继续除法。
(19)(竞赛自修) 各种进制的乘法表，推导同余中的幂次定理——费马小定理，欧拉定理。
(20)(竞赛慎修) 鸡兔同笼的“抬腿法”解法，各种“竞赛应用题型”的非代数解法。
(21)(自考慎修) 坐标系点集的各种相关变换，暗藏向量、复数等概念。

--- 接近12周岁或12周岁之后 ---

(1)(自修) 函数图像，离散点集，各种变换。
(2)(慎修) 两个函数图像的交点的点集，方程的解法，或方程组的消元法。

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连减法的算法套路（包括竖式），和“商”、“除数”概念之间，存在难以弥合的“裂痕”。
所以，我建议，在除数不超过一位数的情况下，低年级的情况下，先不要“过多”引入连减法。

低年级阶段。除数较小的情况。一般不超过一位数。甚至，也许，不需要超过6。
在除数（分成的组数）小于商（每组的份额）的情况，尽量采用接近“隔板法”的模型。

隔板法的常见表述是：分成几组。

根据泡妈的观察记录，我推测，“隔板法”有助于培养数量感。
低年级阶段，以“隔板法”为主。对应抽屉原理的扑克牌模型。
这个时候，除数（分成的组数）不必太大，尽量比商小。
可以等于商，但不要超过商。
泡妈的记录中，泡泡不喜欢平方数，就是因为除数较大(6)，而且，和商太接近了，
快超出了“隔板法”的适用范围。

请注意，被除数大一点没关系，只要除数（组数）不太大，就适合“隔板法”。
因为，被除数可以分“块”，分成各个数位的“块”，分块做隔板法。

隔板法模型中，商就是“份额”的意思，除数就是“份数”、“组数”的意思。
隔板法和商、除数的概念，比较契合。

学父五迁

抽屉原理（带余除法）的隔板法表述：

13张扑克牌，叠成一摞。
插入3张相同的电话卡。
将这一摞扑克牌，隔成4摞。
请尽量使得每一摞的扑克的最大张数，最小。

学父五迁

雨后彩虹推荐的帖子。

从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣
http://321ww.net/viewthread.php? ... id=74272&page=3

一些观感记录一下，供各位参考。
原贴主007是爸爸。没有否定竖式，007出的题目中，同样包括竖式填空题。007只是否定了机械做题。

原帖中的二分法，三分法，用天平秤棋子。
很适合隔板法。而且是多步的。
内容太多。不转帖了。
"只看作者"模式下，翻到第5页，搜索"天平"就有。
第8页，这个游戏扩展到了排列组合。

学父五迁

连减法算法模型和“商”、“除数”概念上的“裂痕”。

高年级阶段。除数较大的情况。可能是多位数。
在除数较大的时候，或者大于商（除数的个数）的情况，
就可以采用标准的除法思路——“连减法”。

连减法在算法的实际含义是：被除数中有几个“除数”？剩余多少？
这个含义和商、除数的概念，不契合，呈“倒置”状态。

整数的带余除法的连减法，
突出了商的“个数”、“倍数”的概念。

英语中，quotient（商）的本意是“份额”，每一份的多少，每一组的多少。

但我认为，如果讲到标准的“连减法”思路（整数的带余除法），
这种“份额”的概念，就不太适合了。

这个时候，要把“除数”看成一个整体。

这时候，要突出“商”的“个数”、“倍数”的意义。
也就是说，
被除数包含“几个”除数，
被除数是除数的“几倍”。

可以看出，连减法的算法中，
“除数”成了一个整体，已经有了“份额”的概念，
“商”就带有了“组数”的概念。

在连减法的模型中，商和除数的概念，倒置了过来。
这很有可能引起学生的概念混淆。

这个概念混淆，怪不到竖式头上。
这并不是竖式特有的错，这是（分块）连减法算法本身固有的问题。
只要是这种标准算法，必然就引起这种概念混淆。

学父五迁

以下是我个人对学习顺序和思路模型的理解，仅供参考，风险自负。

乘法和除法的逆运算概念，应该先于“带余除法”的“连减法”算法。

请注意，带余除法完全可以先于乘除法的“逆运算”。
甚至带余除法完全可以先于乘法。
这都没问题。
就像泡泡，完全可以在除法中，获得乘法的体会和练习。

但是，在正式引入标准“连减法”算法（包括竖式）之前，
一定要反复强调整除中的乘除法逆运算关系。

我现在暂时认为，这个地方，孩子需要师长的“设计”，才能跨越这个思路上的障碍。
泡妈可以观察一下，孩子是否可以自悟。

我暂时觉得，若是引起了概念混淆，后期弥补起来，可能就事倍功半。
当然，也许孩子自己挣扎出来之后的印象更深。
但我根据我对现状的了解，我深深怀疑这个可能性。

学父五迁

下面是思路模型的学习过程。

整除是“带余除法”中的特例。余数为0。
只有在这种特例下，乘除法的逆运算关系才成立。
因此，整除这部分，针对交换律、逆运算，需要大量的思路模式的演练。

a. 乘法的交换律，两个因数的维度

这可以通过矩形模型的长宽维度的转置比较，来辅助讲解。
长宽倒置，面积（乘积）不变。

帮助学生理解，两个因数可以任意交换。

然后，就是“组数”和“份额”两个因数之间的概念的交换律。

3个4的总数是12。
4个3的总数也是12。
3个4，等于4个3。

b. 乘除法的逆运算关系。

12里面有3个4。
12里面有4个3。

这部分，要反反复复的演练。
可以设计各种游戏题型，带着这种演练。

学父五迁

正式引入（分块）“连减法”的标准算法

a. 整除的连减法

只有在孩子对乘法交换律、乘除法逆运算的模型，烂熟于心的情况下，
才适合引入标准的“连减法”算法模型。

而且，第一步，只做“整除”的演练，不要做“带余除法”的演练。

180 分成 15份，每份儿有多少？
180 分成 12份，每份儿有多少？

这是正常的除法表述概念。
除数是组数。
商是份额。

180 里面有几个 15？
180 里面有几个 12？
这是倒置过来的概念。
除数是“份数”。
商是“组数”（个数）。

180 里面有几个 15？
15是除数，却成了份额。
“几个”是“商”，却成了“组数”（个数）。

我的个人偏见是，如果要深刻理解“连减法”的算法模型的本质，
这种思维上的“份数”和“份额”的交换律，
是一定要明确建立的。

这个地方的演练，不能节省，不能跳过。

而且，所有的除法算式表达，都最好给出对应的乘法表达式。


--- 举例说明

180 分成 15份，每份儿有多少？
180 ÷ 15 = 12
180 = 15 X 12

分成了15份之后，每份有12。

请注意，上述乘法算式中的两个因数的位置。
第一个因数是除数，表示“组数”（个数）。
第二个因数是商，表示“份额”。
这个概念是“顺着”的。

180 里面有几个 15 ？
180 ÷ 15 = 12
180 = 12 X 15

请注意，上述乘法算式中的两个因数的位置。
第一个因数是商，表示“组数”（个数）。
第二个因数是除数，表示每一份的“份额”。
这个概念是“逆着”的。

这些概念，必须反反复复把玩儿清楚，才可以应对各种应用题。
只掌握“顺着”的思路，就很难应用“逆着”的思路。

学父五迁

b. 带余除法的连减法

请注意，带余数的除法中，乘除法的逆运算，并不成立。

13 ÷ 5 = 2 ..... 3
13 = 5 X 2 + 3

13 ÷ 2 = 6 ..... 1
13 = 2 X 6 + 1

因此，在带余除法的连减法引入之前，
必须（个人偏见）反反复复演练“同余”的概念。

“同余”概念是理解带余除法的连减法算法（包括竖式）的关键基础。

同余，这个说起来就话长了。暂略。
清楚了同余概念之后，再来看带余除法的连减法算法，就是小菜一碟了。
不需要讲解，小学生就可以自悟。

学父五迁

综述如下。

为了理解除法中的连减法算法。

我认为，需要师长提供“设计”的地方。

(1). 整除的乘法交换律、乘除法逆运算。
(2). 同余

我认为，学生能够“自悟”的、自行推导出来的“连减法”。
(1) 带余数的连减法的标准算法。

学父五迁

所以，谈到思路之类的高层次话题，我的个人偏见是：
(1) 既然师长认为，孩子的思路还不能拐弯儿，不能理解"顺逆"的转化，那就不要教连减法算法（包括竖式）。
(2) 既然要教连减法算法（包括竖式），就必须教会孩子"拐弯儿"。
(3) 孩子还不会“拐弯儿”，就把这种包含着拐弯的套路硬塞给孩子，是出于何种考虑？
(4) 相反，我主观认为，孩子理解这些"拐弯儿"，远远比强行理解那些难以自圆其说的算法套路，更加容易。
(5) 等孩子理解了这些拐弯儿，算法套路本身根本就不用教。
(6) 如果在孩子理解这些拐弯儿之前，就强行输入算法套路，只会阻碍孩子对这些拐弯儿的观察和理解。
(7) 至于这种"阻碍"的后果如何，我不说，免得得罪人。有兴趣，可以自测。

学父五迁

原帖。只看作者。11 页。
讲述了孩子在学习乘除法因数、除数、商的概念的混乱。

恰好是我之前描述的"商"、“除数”、"因数"、"倍数"的概念混淆的一个例子。
如果孩子还没有领悟乘法交换律、整除中乘除法逆运算关系、同余基础知识之前，为什么要学除法的连减法套路（包括竖式）？

http://321ww.net/viewthread.php? ... d=74272&page=11

小宇妈妈

学父，推荐你一本书吧：
<<3~8岁儿童的数学经验>>
作者：（美）查尔斯沃斯　著，潘月娟　译

http://search.dangdang.com/?key=3~8岁儿童数学经验

这个比较系统，有儿童数学思维发展过程，是学前和小学低年级老师教学的参考，也有不少教学实例。

小宇妈妈

我手头有这本书，摘抄其中皮亚杰和维果茨基观点差异：

皮亚杰认为儿童通过自己与周围环境的互动建构知识，儿童不是等着别人告诉他做什么，他们不断去研究，认识和理解接触到的一切，主张发展主要源自儿童自己的内部成熟和自发探索，儿童是认知探索者，他们自己独立建构知识。
而维果茨基认为这种观点只能解释两岁前儿童的发展，文化和文化符号是扩展思维所必需的。他主张，内因和外因相互作用导致了新思维和扩展的符号，他提出了最近发展区概念，他认为好的教学就当呈现微微高于儿童当前发展水平的材料，儿童起初可能不理解，但给予时间和适宜的支架，儿童都能理解，教学不是给发展施加压力，而是给予支持。

皮亚杰的建构主义派关心的是传统教学不给儿童独立建构知识的自由，却给儿童带来较大压力。
维果茨基的建构主义党派则更关注教学能否给予儿童适应挑战以最大可能地发挥他们的潜能。

今天的许多教育工作者发现，综合皮亚杰和维果茨基的观点能更好地解释和指导教学，一方面强调教学就当遵循儿童的兴趣与需要，另一方面强调就当为儿童提供适应的认识挑战。学习循环观就是基于这种理论框架形成的。