鸡兔同笼问题“抬脚法”的负面效果，及此类问题的通用解法

学父五迁

小学中涉及到的应用题（包括竞赛题），
从代数角度上看，大都是一次方程（组）问题，
从小学算术角度上来，就是不列方程组、直接运用消元法的过程。

因此，这些应用题（包括竞赛题）的算法都能够用数量模型（如立方格）直接摆出来。
如年龄、追及、倍和、倍差，等等。

我在“数学无代价应试”这个帖子里面，已经举出了这些例子。

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=29578

天就-蓝了

哈哈哈

天就-蓝了

且多且嗨皮   

学父五迁

天就-蓝了 发表于 2015-11-9 15:04
眼看学父就变老了  我那个急呀   我怎么  怎么升级呢？~~

你比我多出几百分呢，远远超前了。

踏遍青山人未老，这边风景独好。

:D

天就-蓝了

眼看学父就变老了  我那个急呀   我怎么  怎么升级呢？~~   

学父五迁

从足部分的数量中减去头部分的数量。
每一行都是如此——足的数量减去头的数量。


最后的足还剩下 14 - 5 × 2 = 4


   头    头    足
------------------
   ○    ○   
   .................
   ○    ○   
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
   ○    ○    口口  
   .................
   ○    ○    口口  
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数


   5      5    4              --- 汇总统计结果


可以看到，剩下的4只脚，都属于兔子。
兔子有两只。
这个通用解法的复杂度同“抬脚法”是一样的。

学父五迁

运用通用方法。
“头”列复制为之前的2倍。


   头    头    足
------------------
   ○    ○    口口
   .................
   ○    ○    口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
   ○    ○    口口  口口
   .................
   ○    ○    口口  口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数


   5      5    14              --- 汇总统计结果

学父五迁

先摆出通用的数量模型。


   头      足
------------------
   ○      口口
   .................
   ○      口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
   ○      口口  口口
   .................
   ○      口口  口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数


   5       14              --- 汇总统计结果

学父五迁

现有鸡兔共5只（5个头），足14只，请问鸡兔各几何？

为了通用起见，我用 ○ 来代表头，用 口 来代表脚。
（可用不同的棋子、扣子、立方格来代替）

一只鸡

○口口


一只兔

○口口口口

可以很容易看出，

一只兔 = 一只鸡 + 两条腿

○口口口口 = ○口口 + 口口

学父五迁

也许有人觉得，这个通用方法比抬脚法复杂多了。
对于上述的简单原版问题，这个通用方法可能是杀鸡用牛刀。
并非如此。
对于上述的简单原版问题，这个通用方法也非常简单。

学父五迁

现在，鸡的部分，每一行的头和足的数量相等。
对于鸡兔的每一行，从头中减去足的数量。
相当于鸡兔的头的数，减去足的总数  12 × 3 - 17 × 2 = 2





   头      头    头        足           足
----------------------------------------------
                           口口口     口口口
   .........................................
                           口口口     口口口
----------------------------------------------- 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○                        口口口口   口口口口
   .........................................
○                        口口口口   口口口口
------------------------------------------------- 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

2                           34                        --- 汇总统计结果


现在一眼就可以看出，剩下的2个头都是兔子的，有2只兔子。

这个方法才是真正的通用方法。

学父五迁

下面，我们来消去“二头三足鸡”的“足”部。
我们这种消法，是用“头”的数量，消去“足”的数量。
这看起来有些怪。头和足的数量怎么可以抵消呢？
这才是真正的数学思想。
无论是头，还是足，都只是“数”而已。


我们现在脱离上述的情境，只看下面两个数列。
我们要消去“右上部分”的“鸡足”，并不难。
我们把“头”“足”两列分别复制不同的倍数，使得鸡的头足的数目相等。

“头”列复制为之前的3倍。
“足”列复制为之前的2倍。



   头      头    头        足           足
----------------------------------------------
   ○○   ○○   ○○      口口口     口口口
   .........................................
   ○○   ○○   ○○      口口口     口口口
----------------------------------------------- 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○○○  ○○○  ○○○    口口口口   口口口口
   .........................................
○○○  ○○○  ○○○    口口口口   口口口口
------------------------------------------------- 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

   12     12      12        17         17     --- 汇总统计结果

学父五迁

这时候，抬脚法，就完全不适用了。

我们只能另想他法。

我们不再把头、足看做某个动物（鸡或兔）的一体所有物，
而是把头、足当做两列不同的数据来看。
这才是真正的数学思想。
无论是头，还是足，都只是“数”而已。

有四部分带有未知“.......”（省略号）的部分。
我们要想办法消掉一些部分。
这种方法的思想，我在另外那个帖子“数学无代价应试”中已经演示得很多了。

学父五迁

这种解法有个极其严重的限制——每只动物的头数必须相等。

假设有二头三足鸡，三头四足兔，又该如何呢？
（这才是通用的二元一次方程组问题）

二头三足鸡

  ○○    口口口


三头四足兔

○○○    口口口口


假设有头12个，足17个。请问鸡兔各几何？

   头        足
------------------
   ○○      口口口
   .................
   ○○      口口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○○○      口口口口
   .................
○○○      口口口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

   12        17              --- 汇总统计结果


这时候，抬脚法，就完全不适用了。

学父五迁

每只兔子比每一只鸡多出2只脚。
这4只脚就可以分给两只鸡。
这两只鸡就变成了兔子。


   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
------------------- 上面是鸡
   ○      口口 <- 口口
   ○      口口 <- 口口
------------------- 上面的每只鸡加上了两只脚，就变成了兔子。

学父五迁

多出来的这4只脚，就来自于兔子，这些多出来的脚需要分给一些鸡，把这些鸡变成兔子。


   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口 <- 口口
   ○      口口 <- 口口

学父五迁

由于每只兔子和每只鸡的头数相等这个特殊关系，
可以假设这里面全都是鸡。



   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数


   5       10              --- 汇总统计结果


可以看到，足的数量是10个。
实际情况多出来 14 - 10 = 4 只脚。
多出来的这4只脚，就来自于兔子。

学父五迁

先摆出通用的数量模型。



   头      足
------------------
   ○      口口
   .................
   ○      口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
   ○      口口  口口
   .................
   ○      口口  口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数


   5       14              --- 汇总统计结果

学父五迁

利用这个特殊关系，可以进行如下数量模型操作。

学父五迁

下面讲解一下“抬脚法”的数量模型操作。

现有鸡兔共5只（5个头），足14只，请问鸡兔各几何？

为了通用起见，我用 ○ 来代表头，用 口 来代表脚。
（可用不同的棋子、扣子、立方格来代替）

一只鸡

○口口


一只兔

○口口口口

可以很容易看出，

一只兔 = 一只鸡 + 两条腿

○口口口口 = ○口口 + 口口