配平化学方程式的通用方法

学父五迁

为了方便有需要的人查阅，这部分单独成贴。

说说化学方程式的配平。

有没有“快速”配平化学方程式的“诀窍”？
这个简单哪。
就像把大象装进冰箱里一样。
第一步，把冰箱门打开。
第二步，把大象装进冰箱。
第三步，关上冰箱门。

配平化学方程式也是如此。
第一步，列出方程组。
第二步，解出方程组。
。。。


好吧。以上只是一个玩笑。
我不知道“快速”配平化学方程式的“诀窍”。
我只知道配平化学方程式的通用方法。

我就把《线性代数及其应用 (美)David》一书中的例子搬过来吧。
当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧气（O2）结合产生二氧化碳（CO2）和水（H2O）。
形成如下的化学方程式。

(a1) C3H8 + (a2) O2 = (a3)CO2 + (a4)H2O

a1, a2, a3, a4 分别是四种分子的个数。

分子有上述4种。
所有的可能原子有碳（C）、氢（H）、氧（O）3种。

列个表格，列出每种分子中含有某种原子的个数。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       1        0
氢（H）     8        0       0        2
氧（O）     0        2       2        1


上述的化学方程式两边同时减去等式右端，变形如下。

(a1) C3H8 + (a2) O2 - (a3)CO2 - (a4)H2O = 0

上述的表格就变形如下（右端的分子中的原子个数变成负数）。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


如果学过矩阵初等行变换（非常简单，就是行之间加减乘除。原理同消元法一样），
那么，可以直接对上述矩阵进行初等行变换，得出结果。

如果没有学过矩阵初等行变换，那么，就列出下面的不定方程组。


3 a1             -   a3               = 0
8 a1                        - 2 a4    = 0
         2 a2   - 2  a3   -     a4    = 0

用消元法或代入法解方程就行了。
这个方程组很适合用代入法，直接就可以看出  
a3 = 3 a1,   
a4 = 4 a1
代入最后一个方程，就可以得到
a2 = 5 a1

这是一个不定方程组，有无穷多组解。
取一组最小公约数为1的整数解即可。

a1 = 1
a2 = 5
a3 = 3
a4 = 4

Elf

学父五迁

下面描述一下矩阵初等行变换的过程。
为了清晰描述，我把每一步细节都记录下来了。
因此可能显得比上述的代入法繁琐复杂，实则不然，两者的繁简程度是一样的。
而且，如果熟悉了矩阵行变换之后，矩阵的写法更加简单，尤其适用于未知数更多的、更复杂的方程组。
当然，最重要的原因是，数学应用软件中的方程组形式，全都是矩阵形式。
如果要运用数学应用软件，必须熟悉矩阵方法。

如果使用矩阵初等行变换，需要先选取主列（换列）。
先看之前的矩阵。

           a1       a2      a3       a4

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


可以看出，第三列、第四列、第二列 适合当主列
调整列顺序，行变换正负号，行约简。

            a3      a4     a2    a1

           CO2     H2O     O2   C3H8
碳（C）     1       0      0     -3
氢（H）     0       1      0     -4
氧（O）    -2      -1      2      0


第三行加上两倍的第一行、一倍的第二行。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     2     -10

第三行约简。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     1     -5


行变换完成。
这个矩阵写成方程式如下。

a3 - 3 a1 = 0
a4 - 4 a1 = 0
a2 - 5 a1 = 0

即

a3 = 3 a1
a4 = 4 a1
a2 = 5 a1