“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

“题海战术”的令人心酸的真相


在李网看到一个帖子，有感而发。

初一老师推荐的“清华学子一封信”
http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=93881

Elf

学父五迁 发表于 2016-2-2 23:20
我能一眼看出，
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。

你都证明不出来，我就可以怀疑题目出错了

学父五迁

Elf 发表于 2016-2-2 20:42
楼主，我又来问问题啦。请看题板：

如果点（x,y）和点（a+b, a-b）和（a-b，a+b）的距离相等，请证明 x= ...

我能一眼看出，
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。
因此，满足条件的点就是 x=y

至于题目的结论，我证明不了。

Elf

楼主，我又来问问题啦。请看题板：

如果点（x,y）和点（a+b, a-b）和（a-b，a+b）的距离相等，请证明 x=a, y=b.

学父五迁

如果是我来教学设计的话，我会在很早的阶段（早到刚上小学的时候），就引入数学模型变化量的思想（多元微积分的方向导数，全微分等），用小立方格就可以摆出来。
12周岁之后，全面引入形式推导符号，包括微积分符号。
因为，微积分本身并不难理解，但是，形式符号不太容易理解，尤其是一下子就接触到大量的求导公式。
如果这些变化率的各种情景早已玩得烂熟，那么，这些符号、公式，就一点难度都没有了。

学父五迁

求导的方法就简单许多。


y = a x^2 + b x + c

y' = 2ax + b

当 y' = 0 时，y 取得最值。

y' = 0 = 2ax + b

解得 x = -b/2a


代入

y = a x^2 + b x + c

得到

y = c - b^2/4a = d


这就是最值。

最大值最小值的分析，只需要一些定性分析。

(-∞, -b/2a) 和 (-b/2a, ∞) 这两个区间上，y 的变化情况。

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初等数学的配方法，比较复杂。
不过，一元二次函数，比较简单，初等数学的配方法，也可以勉强使用。

y = a x^2 + b x + c

配方法的目的就是把那个一次项  bx  从公式中消掉。
公式中只剩下  二次项（平方项）  和 常数项（余项）。
常数项是不变的。
二次项，有一个很好的性质，永远大于等于0，可以求出等于0时的最值。
问题就简化为二次项内部的那个式子了。

y = a x^2 + b x + c

y = a ( x + b/2a)^2 + (c - b^2 / 4a)


简化起见，令 余项

(c - b^2 / 4a) = d

于是，

y = a ( x + b/2a)^2 + d


x = -b/2a 时，

平方项就等于 0，这个式子就等于 d

于是，

x = -b/2a 时，

这个式子就达到了最值。
最值就是 d。

a > 0,  d 就是最小值。

a < 0,  d 就是最大值。

学父五迁

以上是定性分析抛物线函数图像的性质。
下面是定量分析的代数形式推导。

学父五迁

以上这些性质全都可以用整数数列表示出来。

可以在 0-x-y 坐标系上描绘出 整数点坐标，连接出图像。

整数点描点熟悉之后，可以试着构造 分数点、小数点。
尤其是 -1 < x < 1 的区间中。

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接下来，稍微演示一下 y 的平移、缩放。
（这个不太重要，定性理解一下即可）

y = x^2 - 1

y = x^2 + 1


y = 2 x^2
y = -2 x^2

y = 2(x - 1)^2

y = 2(x - 1)^2 - 5

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接下来，演示 x 的各种位移。

y = (x - 1)^2

可以发现，x = 1 就是对称轴。

不断变换对称轴。

这组演示十分重要，极端重要，重中之重。

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接着 演示 平方 的对称性质。


y = x^2

x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,  4
y: 16,  9,  4,  1, 0, 1, 4, 9, 16

可以发现，x = 0 就是 y 的对称轴。

x的每一步增长:  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
y的每一步增长: -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7

y 的增长就是一个等差数列。阶差为 2。
反映了 y' = 2x

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我进行教学设计的话，我会采用整数数列（坐标中的整数点描点）的方式。

先是演示 平方  的增长率

y = x^2

x: 0, 1, 2, 3,  4
y: 0, 1, 4, 9, 16


x的每一步增长: 1, 1, 1, 1
y的每一步增长: 1, 3, 5, 7

y 的增长就是一个等差数列。阶差为 2。
反映了 y' = 2x

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Elf 发表于 2015-11-22 13:53
请问学父：一元二次方程曲线的求最值公式怎么得来的，能用初等数学讲明白吗？还是必须用微分的方法呢？亦 ...

初等数学的配方法，稍微繁琐一些。
求导方法，简单许多。
无论是哪种方法，都需要对一元二次函数图像十分熟悉。

一看到

y = a x^2 + b x + c

脑海里，立刻就出现一个对称的抛物线图像。
对称轴是  x = -b/2a

a > 0，这个对称的抛物线的开口就是向上的
a < 0, 这个对称的抛物线的开口就是向下的。

Elf

请问学父：一元二次方程曲线的求最值公式怎么得来的，能用初等数学讲明白吗？还是必须用微分的方法呢？亦或是给孩子讲的时候只要孩子记住公式就好？
方程：y=ax^2+bx+c
         最值： x=-b/2a   
http://zh.wikihow.com/%E6%89%BE% ... 4%E6%9C%80%E5%80%BC

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做到这一点，并不需要做很多题，只需要“阅读”一下历年试卷即可。
这个“阅读”，其实，是相当简单的。
各地的历年重要高考题，一线教师早已研究透彻，甚至做出了形象直观的几何画板的动画教案课件。

学父五迁

每年重大的选拔考试之前，学生都可以凑个热闹，试着根据往年试卷，编制一些考题，进行押题。
这里押的不是具体题目，而是考点范围，高考之后，再进行对比。

学父五迁

教学相长，学生一定要时时代入教学者、命题者的角度，进行教学设计和命题设计。
我前面提到的，沉浸在连续剧般的情境中，实际上就是同时具有观众、演员、编剧（上帝视角）的多重视角。

学父五迁

教学设计的时候，师长希望 一举多得，一个情境涵盖尽可能多的知识点。
命题的时候，出题者希望 一题多考，一道题涵盖尽可能多的技能知识点。

学父五迁

这种“命题”的角度，尽管目的不是为了教学，而是为了选拔。
但是，“命题”和“教学”都有一个共同的追求——效率。