旗帜鲜明的反对竖式

学父五迁

免责声明：标题党。个人极端偏见。风险自负。

在我看来，破坏小学生数学思维的罪魁祸首就是“竖式”。
如果可能，尽量避免让小学生学习竖式。

我感觉，应该有很多数学教育家有这个观点。
结果，我搜了半天，只搜到一篇不那么激进的。

为什么要淡化竖式笔算——谈如何培养计算的灵活性与创造性
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a35ba11010149jj.html

除法是小学计算教学的难点，难就难在竖式除法上。一位很优秀的青年教师曾告诉我一件事：
她班里有个“差生”，怎么也不理解“312÷3”的竖式笔算的过程和方法，急得哭了。
后来这个孩子问她，300÷3=100，12÷3=4，100+4=104，这样算很容易就得出结果了，为什么一定要用竖式计算呢？
.....
掌握竖式除法必须突破两个难关：一是理解竖式除法的格式、步骤是怎样从具体的情境操作中抽象出来的，二是掌握“试商”的方法。
为了化解上述难点，教材编者精心设计，层层铺垫，一线老师也费尽心思，精益求精，但教学效果依然不尽如人意；

学父五迁

还有一个故事。
郑毓信还在《数学教育: 从理论到实践》一书中转引了台湾一位小学教师经历的如下事例:
记得两年前, 我女儿上幼稚园大班, 我儿子上小学三年级, 有一天带他们两人去吃每客199元的比萨,
付账时, 我问儿子和女儿: 妈妈一共要付多少元啊?
儿子嘴里喃喃念着: 三九, 二十七进二, 三九, 二十七进二;
女儿却低着头数着手指头。
一会儿, 儿子喊着: 妈妈! 你有没有纸和笔, 我需要纸和笔来写‘进位’, 否则会忘。
儿子还未算出。女儿却小声地告诉我: 妈妈! 你蹲下来一点, 我告诉你, 我知道要付多少钱了。
哦! 真的, 要付多少钱?
你拿600元给柜台的阿姨, 她会找你3元。
付完钱后, 牵着女儿的手走向店外, 再问: 小妹! 你怎么知道给阿姨600元, 还会找3元呢?
我用数的啊! 199再过去就是200、400、600, 三个人共要给600元,
但是阿姨一定要再找3元给我们才可以, 她多拿了3元嘛!”
以上只是“前奏”, 更“精彩的”还在后面:
“最近带他两人去吃‘沙拉吧’, 一人各380元,
付账时, 我问他们兄妹两人: 算算看, 要付多少元?
两人异口同声地回答: 给我纸和笔。我说: 没有纸和笔。
女儿答腔: 那就算不出来了。”
这位老师感慨地说:“只差两年, 我女儿就变成不会解题, 只会计算了。

学父五迁

在我看来，很明显，造成这个后果的罪魁祸首就是“竖式”。
不用竖式，直接采用多项式（横式），计算速度反而可能更快。

在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。

下面举两个例子。短除法和长除法的例子。
为了方便文字排版，我把竖式中的除数写在了右边，而不是左边。

学父五迁

1. 短除法 74 ÷ 3

74 ÷ 3
竖式

24      （试商2；试商4）
----
74  ÷  3
6        （试商2）
----
14
12       （试商4）
----
2

最终结果
74 ÷ 3 = 24 ...... 2

学父五迁

74 ÷ 3
多项式（横式）

（试商20）
74 - 20 X 3 = 14  
（试商4）
14 - 4 X 3 = 2   

最终结果
74 = 24 X 3 + 2

学父五迁

在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。


2. 长除法  8216734 ÷ 271


8216734 ÷ 271
竖式


    3  （试商 3）
-------
8216734 ÷ 277
831            （试商 3）

试商3失败，擦掉那一行，重新试商2

    295     （试商2；试商9；试商5）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     （试商5）
1385
--------
  392

试商5失败，擦掉那一行，重新试商6。

    29641     （试商2；试商9；试商6；试商4；试商1）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     
1662     （试商6）
--------
  1153
  1108
--------
    454   
    277    （试商1）
--------
    177

最终结果。
8216734 ÷ 277 = 29641 ...... 177

学父五迁

8216734 ÷ 271
多项式

（万位。）
821 ÷ 277
（试商3。）
3 X 277 = 831  
（试商过头了。改成试商2。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267

（千位。）
2676 ÷ 277
（试商9。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177

（百位。）
1777 ÷ 277
（试商5。可以直接使用试商2和试商3的结果。）
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
试商1。
392 ÷ 277
392 - 277 = 115
（商的百位是5 + 1 = 6。）
（这里的商，是可以叠加的，而不用擦除重算。）

（十位。）
1153 ÷ 27
（试商4。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45

（个位）
454 ÷ 277
（试商1。）
454 - 277 = 177


最终结果。

8216734 = 29641 X 277 + 177

容易吗

我第一反应都是用竖式。被摧残的人啊！

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-21 22:49
竖式做乘除法节省多少空间啊。竖式做加减法，还可以加强理解位数的概念。

另外，学数学不能只学一种方法 ...

竖式节省空间，是因为“降位”。
下一步除法，后一位直接空降。
这恰好不容易对位。
位数多了，行数多了，就非常难以对位。
很容易漏位错位。
恰好阻碍了对位数的理解。
不信，问问那些用竖式的小学生，能否判断出当前的商，落在哪一位上？

明月不妨用竖式算算自己出的那道题目。
56354496328813668/9
:D
我可以给个多项式对照版。


我前面给的长除法例子已经展示了。
在除数位数较多的长除法中，竖式的“试商”，很难重复使用。
一旦试错了，还要重算。
如果要重复使用，就要写在竖式之外的地方。
这就叫做“形格势禁”。

这种重复使用“商 X 除数”的做法，已经是“代数”（代式）的雏形。
结果，竖式基本阻断了学生的这种体验。
只有商和之前完全相同的时候，学生才可能想到代入。
但是，那个结果不是很容易找，需要找到商，再划一条竖线下来，找到是哪一步的结果。
在我看来，在重要数学思想的体验方面，竖式起到的全是负面作用。

再给一个问题。
如何用竖式证明循环小数的必然产生？
不妨一试。

多项式除法能不能简写？
当然能。只要熟练了，比竖式还要简单。
前面是怕大家不熟悉，才加上了文字说明。

在被除数上写上10的幂次。
（标记规律和使用很简单。
原理不用解释，学生以后学了乘方自然就会明白）
（如果是小数，就从1开始，按递增顺序标注。
或者1', 2'表示 -1, -2 次幂）


6543210
8216734 ÷ 271

从“4”次幂开始，“递”降。

(4)
821
3 X 277 = 831  
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267
2
(3)
2676
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177
9
(2)
1777
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
392 - 277 = 115
5 + 1 = 6
(1)
1153
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45
4
(0)
454 - 277 = 177
1

商：29641
余数：177

以上的流程，我只是随便一写。
这种格式，非常自由。
我可以轻易使用这种格式证明循环小数的必然产生及产生过程。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 13:30
我又想起那句话：无他，唯手熟耳。

这些可以自己通过练习而获得的熟练技能，自己没有获得，为什么也要归 ...

这样吧。
先看三个具体问题。

(1) 名词解释：请举例说明，什么叫做"试商" ？请举例说明，试商可能发生的各种情况。

(2) 请用竖式证明无限循环小数的循环节的必然存在。
这个问题最有意义，可优先考虑。

(3) 做一个除数位数较长的长除法。
比如，
34908098898083535252 ÷ 498

这个题目是我随便给的。
既然要做长除法，这种题目才有意义。

请用竖式解答。
一个技巧：用文本排版竖式时，左边的空位可以用"0"补齐，就可以对齐数位。

容易吗

数学不好的人，现在终于感觉到大脑营养不够空间不够看得想睡觉了。欢迎烨子妈来报仇补刀。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:27
第一，我不认为竖式和横式有什么本质区别。

第二，我不认为学校不教竖式改教横式，对学生理解数学和提高 ...

第一，我认为，竖式是裹足跳舞，形格势禁，局限了学生的思维。

第二，我认为，学校不需要教竖式或横式。我前面给出的横式，是我自己随便写的。
学生只要掌握了除法的本质规律（我称之为"倍余式"），学生可以自由创作出各种算法套路。

第三，关于“芝麻和西瓜、本末倒置”之说。在我看来，安全无小事儿。