鸡兔同笼问题“抬脚法”的负面效果，及此类问题的通用解法

学父五迁

小学中涉及到的应用题（包括竞赛题），
从代数角度上看，大都是一次方程（组）问题，
从小学算术角度上来，就是不列方程组、直接运用消元法的过程。

因此，这些应用题（包括竞赛题）的算法都能够用数量模型（如立方格）直接摆出来。
如年龄、追及、倍和、倍差，等等。

我在“数学无代价应试”这个帖子里面，已经举出了这些例子。

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=29578

学父五迁

这些模型操作的过程，就相当于消元的过程。
从这个意义上来讲，代数法和算术法本质上是一致的。

学父五迁

但是，经常有一些小学师长说，小学生到了高年级，
就应该逐渐放弃算术法，而应该向代数法（列方程求解）过渡。

学父五迁

这是一个比较奇怪的说法。
因为，算术法其实就相当于代数法的消元过程，两者本质上是一致。
为什么这些小学师长会这么说呢？

学父五迁

他们这么说，是有一定道理的。
因为小学应用题的算术解法中，有一些解法比较特殊，并非通用的解法，
因此，无法对应代数法的消元过程，
因此，不能很容易地过渡到代数法的方法思想。

学父五迁

从这个意义上来说，这些特殊的算术解法，确实阻碍了小学生向代数方法思想的过渡。

其中，一个十分常见的特殊算术解法就是从古至今流传下来的鸡兔同笼问题中的“抬脚法”。

从学生的整体学习生涯上来看，“抬脚法”是一种特殊解法，而非通用解法，并不能体现代数法的消元过程，
可能会影响对于代数法的理解与接收。

学父五迁

下面，我先描述一下抬脚法的具体数量模型操作过程。
之后，我再给出一种通用的数量模型操作方法，可以应对任何代数法中所谓的“二元一次方程组问题”。

学父五迁

鸡兔同笼问题有一个常见的解法——抬脚法。
即，想象兔子和鸡同时抬起两条腿之后，还剩下多少条腿。
那些腿再分给兔子，就得出兔子的个数。

这种解法并非该类问题（即代数法中所谓的“二元一次方程组问题”）的通用解法，而是一种非常特殊的解法。
长远来开，并不具有通用性和推广性。

学父五迁

抬脚法，本质上是做了一个非常特殊的代换：把一只兔子，看成了“一只鸡 + 两条腿”。

这种特殊的代换，只有在“每只兔子”和每只“鸡”的“头数”相同的时候，才可以用到。
（比如，每只兔和每只鸡都只有一个头）。

学父五迁

而在通用的“二元一次方程组问题”中，每只兔和每只鸡有可能是“多头”怪物。
比如，二头三足鸡，三头四足兔。

这种情况下， “抬脚法”这种特殊的解法就完全不适用了，没有任何推而广之向高阶代数法过渡的意义。

学父五迁

下面讲解一下“抬脚法”的数量模型操作。

现有鸡兔共5只（5个头），足14只，请问鸡兔各几何？

为了通用起见，我用 ○ 来代表头，用 口 来代表脚。
（可用不同的棋子、扣子、立方格来代替）

一只鸡

○口口


一只兔

○口口口口

可以很容易看出，

一只兔 = 一只鸡 + 两条腿

○口口口口 = ○口口 + 口口

学父五迁

利用这个特殊关系，可以进行如下数量模型操作。

学父五迁

先摆出通用的数量模型。



   头      足
------------------
   ○      口口
   .................
   ○      口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
   ○      口口  口口
   .................
   ○      口口  口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数


   5       14              --- 汇总统计结果

学父五迁

由于每只兔子和每只鸡的头数相等这个特殊关系，
可以假设这里面全都是鸡。



   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数


   5       10              --- 汇总统计结果


可以看到，足的数量是10个。
实际情况多出来 14 - 10 = 4 只脚。
多出来的这4只脚，就来自于兔子。

学父五迁

多出来的这4只脚，就来自于兔子，这些多出来的脚需要分给一些鸡，把这些鸡变成兔子。


   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口 <- 口口
   ○      口口 <- 口口

学父五迁

每只兔子比每一只鸡多出2只脚。
这4只脚就可以分给两只鸡。
这两只鸡就变成了兔子。


   头      足
------------------
   ○      口口
   ○      口口
   ○      口口
------------------- 上面是鸡
   ○      口口 <- 口口
   ○      口口 <- 口口
------------------- 上面的每只鸡加上了两只脚，就变成了兔子。

学父五迁

这种解法有个极其严重的限制——每只动物的头数必须相等。

假设有二头三足鸡，三头四足兔，又该如何呢？
（这才是通用的二元一次方程组问题）

二头三足鸡

  ○○    口口口


三头四足兔

○○○    口口口口


假设有头12个，足17个。请问鸡兔各几何？

   头        足
------------------
   ○○      口口口
   .................
   ○○      口口口
------------------------ 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○○○      口口口口
   .................
○○○      口口口口
------------------------ 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

   12        17              --- 汇总统计结果


这时候，抬脚法，就完全不适用了。

学父五迁

这时候，抬脚法，就完全不适用了。

我们只能另想他法。

我们不再把头、足看做某个动物（鸡或兔）的一体所有物，
而是把头、足当做两列不同的数据来看。
这才是真正的数学思想。
无论是头，还是足，都只是“数”而已。

有四部分带有未知“.......”（省略号）的部分。
我们要想办法消掉一些部分。
这种方法的思想，我在另外那个帖子“数学无代价应试”中已经演示得很多了。

学父五迁

下面，我们来消去“二头三足鸡”的“足”部。
我们这种消法，是用“头”的数量，消去“足”的数量。
这看起来有些怪。头和足的数量怎么可以抵消呢？
这才是真正的数学思想。
无论是头，还是足，都只是“数”而已。


我们现在脱离上述的情境，只看下面两个数列。
我们要消去“右上部分”的“鸡足”，并不难。
我们把“头”“足”两列分别复制不同的倍数，使得鸡的头足的数目相等。

“头”列复制为之前的3倍。
“足”列复制为之前的2倍。



   头      头    头        足           足
----------------------------------------------
   ○○   ○○   ○○      口口口     口口口
   .........................................
   ○○   ○○   ○○      口口口     口口口
----------------------------------------------- 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○○○  ○○○  ○○○    口口口口   口口口口
   .........................................
○○○  ○○○  ○○○    口口口口   口口口口
------------------------------------------------- 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

   12     12      12        17         17     --- 汇总统计结果

学父五迁

现在，鸡的部分，每一行的头和足的数量相等。
对于鸡兔的每一行，从头中减去足的数量。
相当于鸡兔的头的数，减去足的总数  12 × 3 - 17 × 2 = 2





   头      头    头        足           足
----------------------------------------------
                           口口口     口口口
   .........................................
                           口口口     口口口
----------------------------------------------- 上面这部分是鸡，每一行代表一个鸡，行数就是鸡数
○                        口口口口   口口口口
   .........................................
○                        口口口口   口口口口
------------------------------------------------- 上面这部分是兔，每一行代表一个兔，行数就是兔数

2                           34                        --- 汇总统计结果


现在一眼就可以看出，剩下的2个头都是兔子的，有2只兔子。

这个方法才是真正的通用方法。