排列问题与乘法原理（高考、小学奥赛）

学父五迁

排列问题与乘法原理（高考、小学奥赛）

排列组合（以及离散概率统计）问题，高考必考，小学奥赛必考。

这部分内容中，至关重要的原理只有一个，唯一的一个 —— 乘法原理。

只要深入掌握了乘法原理的数学思想，此类问题全都迎刃而解。

学父五迁

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那些复杂的组合公式，根本就没有必要背。

难背不说，即使背下来，也不一定能够灵活应用。
而且，那些组合公式的应用面也比较狭窄，只能用于分成两组的情况，
一旦分组超过两组，就无效了。

只要深入掌握了乘法原理，可以非常轻易地推出所有的组合公式，无论分成多少组。
而且，可以灵活解答此类中的所有问题。

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学父五迁

下面，通过一个简单的排列问题，讲解一下乘法原理的基本思想。

有 0, 1, 2, 3, 4 这5个数字，
从中选出不重复的三个数字组成一个三位数，
请问可以组成多少个三位数。

学父五迁

这种题目属于最为简单的排列问题，可以直接应用乘法原理。


乘法原理是一种“分步构造法”，一步一步将结果构造出来。


三位数，共有三个位置，需要填入数字。

那么，就可以分为三步，一步填入一个数字。

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(1). 第一步，填写左起第一个数位（百位）

由题意可知，三位数中的百位数不能为 0，那么只能从 1, 2, 3, 4 中选。
于是，共有4种选择。

1

2

3

4

学父五迁

(2) 第二步，填写左起第二个数位（十位）

第一步的每一个分支，已经从5个数字选走了一个数字，那么，只剩下4个选择。
也就是说，第一步的每一个分支下，填写第二位，都只有4个选择。
分别列出。

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     |--  0
     |
     |
     |
     |--  2  
     |   
1 - |
     |  
     |--  3
     |
     |
     |
     |--  4

学父五迁

     |--  0
     |
     |
     |
     |--  1  
     |   
2 - |
     |  
     |--  3
     |
     |
     |
     |--  4

学父五迁

     |--  0
     |
     |
     |
     |--  1
     |   
3 - |
     |  
     |--  2
     |
     |
     |
     |--  4

学父五迁

     |--  0
     |
     |
     |
     |--  1  
     |   
4 - |
     |  
     |--  2
     |
     |
     |
     |--  3

学父五迁

可以看出，第一步和第二步，一共产生了 4 × 4 个分支。

学父五迁

(3) 第三步，填写左起第三个数位（个位）

对于前两步的每一个分支，填入第三位。
前两步的每一个分支，已经从5个数字选走了2个数字，只剩下3个数字，只有3个选择。
分别列出。

学父五迁

                 |--  2  
     |--  0  -  |--  3
     |           |--  4
     |
     |           |--  0  
     |--  2  -  |--  3
     |           |--  4
1 - |
     |           |--  0
     |--  3  -  |--  2
     |           |--  4
     |
     |           |--  0
     |--  4  -  |--  2
                 |--  3

学父五迁

                 |--  1  
     |-  0  -  |--  3
     |           |--  4
     |
     |           |--  0  
     |-  1  -  |--  3
     |           |--  4
2 - |
     |           |--  0
     |-  3  -  |--  1
     |           |--  4
     |
     |           |--  0
     |-  4  -  |--  1
                 |--  3

学父五迁

                 |--  1  
     |--  0  -  |--  2
     |           |--  4
     |
     |           |--  0  
     |--  1  -  |--  2
     |           |--  4
3 - |
     |           |--  0
     |--  2  -  |--  1
     |           |--  4
     |
     |           |--  0
     |--  4  -  |--  1
                 |--  2

学父五迁

                 |--  1  
     |--  0  -  |--  2
     |           |--  3
     |
     |           |--  0  
     |--  1  -  |--  2
     |           |--  3
4 - |
     |           |--  0
     |--  2  -  |--  1
     |           |--  3
     |
     |           |--  0
     |--  3  -  |--  1
                 |--  2

学父五迁

可见，共产生了 4 × 4 × 3 个分支。

学父五迁

以上，就是乘法原理的基本思想，十分简单明了，
只要保证每一级分支下的下一级分支个数都相同，就适用乘法原理。

Elf

楼主，我又来问问题啦

概率的题：

把三枚硬币扔两次，至少有一个反面的概率是多大？

我这么想：正面是H，反面是T，有以下四种组合，有T的几率是3/4.

H T H
H T T
H H H
T T T

但是答案是 7/8.

这是为什么？

学父五迁

Elf 发表于 2015-12-15 13:07
楼主，我又来问问题啦

概率的题：

这个问题最直接的解法是，先算出，全是正面的概率。

三枚硬币，每个抛一次，全都是正面的概率是  1/2 的三次方。
1/8

那么， 至少有一个反面的情况就是 7/8