数学无代价应试

学父五迁

一些关于数学教育的浅见，和大家分享。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

01 数学全景图——绊脚石和金蛋

01.01 小明的故事

小明，这个名字很亲民。
各种小故事的主角，都叫小明。
这个故事也不例外，主角是一个叫做小明的学生。
小明很忙，每天都要上学。
但是，小明也有闲的时候。
比如，放假的时候，等车的时候，坐公交的时候，等开饭的时候，等等。
这些闲暇的时间，加起来也有不少了。
这些闲暇的时光，小明如何度过呢？
同很多城里孩子一样，小明也是“电子文化”中泡大的一代，整天被生活中的各种电子设备包围着。
每当闲极无聊的时候，小明就会掏出随身的手持电子设备（比如，大屏幕手机、平板电脑等等），
开始上网，看小说，打游戏，时间一晃就过去了。
现在，就有一个问题了。
请您估测一下，小明同学的数学成绩如何？
我想，大多数人看到这种描述，都不会做出乐观的估计。
下面，我补充如下细节。
小明上的网站，大都是数学论坛。
小明看的小说，大都是数学家的故事。
小明看的书籍，大都是古今中外知名数学家的科普名著。
小明看的资料，大都是广大一线教师教案、历年考试真题等等。
小明玩的游戏，大都是《几何画板》、《超级画板》等数学教学软件，
其中包含历年动态几何轨迹类真题的几何函数图像动画。
（注：目前，中小学数学课本、教案、考试题目中，已经广泛使用《几何画板》等动态几何教学软件。）
小明参加各种数学竞赛，获奖无数，甚至运用独创的思路，证明了一些难度较高的数学猜想。
现在，请您再估测一下小明的数学成绩。
这一次，我们可以做出较为乐观的估计了。
假如每个学生都像小明这样，那么，老师和家长就不用为学生们的数学操心了。
遗憾的是，这只是一个我们偶尔在报刊杂志上看到的故事。
大多数学生并不能达到这种状态。
很多学生陷入劳累、倦怠、厌学、无聊的恶性循环而无法自拔。
应试教育的弊端如此严重，无数的人都在想方设法减轻应试教育的代价。
那些关系到资源分配、利益博弈的宏大改革方案，我这里暂且不讨论。
单单从学习方法来看，就有无数的教育工作者提出了各种真知灼见，
比如，趣味化、形象化、情景化、生活化、实用化、
故事化（包括但不限于数学家小故事、数学史等等）、剧本化、美感化（欣赏数学之美），等等。
从方法论的角度来讲，我提出的学习方法，不会超出以上范畴。
由于数学的理解难度尤其高，学习数学的根本要点在于“沉浸式情境”。
只有深入地沉浸到数学情境中，才能透彻理解把握其中的数学思想。
只是，这种沉浸的状态并不那么容易达到。
我在一些数学教育家、广大一线教师的数学教育专著中看到不少经典教案。
但是，“经典”这个词，本身就足以说明问题了。
“经典”之所以成为“经典”，正是因为“珍稀”。
大部分的知识点，并没有被“经典情境”所覆盖。
除了偶尔提到一些经典教案之外，大多数书籍中的主要内容还是“解题”，
从应试题海找到一些经典题型，试图创造数学情境，可惜效果有限，仍然摆脱不了题海战术的桎梏。
我提出的学习方法，其核心理念就是帮助学生面对所有的关键数学知识领域，都能够达到这样的“沉浸式情境”状态。
我对中小学数学知识领域进行了一些比较激进的统筹调整。
这些做法很可能引起争..议，甚至非..议。
但是，这些想法在我脑海里萦绕许久许久，不吐不快。
我渴望同大家一起分享探讨，希望帮助到更多的人。

学父五迁

01.02 数学全景图中的绊脚石和金蛋

接下来，我们进入第一个情境——小明初临数学空间。
小明是一个小学生，刚开始学习数学。
他从天而降，落到了一片新的大陆上——数学空间。
小明的落脚点，是一片平原。
这片平原叫做“小学数学”。
远方有一片高原，叫做“初中数学”。
初中高原之上还有一座更高的高原，叫做“高中数学”。
高中高原之上，有一座巨大的宫殿，叫做“大学高等数学”。
当然，小明还看不到那么远。
小明暂时只能看清周围的小学平原上的一些东西。
小学平原上分布着一些高塔。
这些高塔叫做“数学竞赛”。
有些高塔和远处的“初中高原”之间有桥梁相通。
有些高塔则独自耸立着。
这些独自耸立的高塔，大都是一些数论中的知识，
如素数理论、剩余理论、同余方程等，暂时不属于中考、高考范畴。
高中数学选修4系列中出现了一本数论（同余不定方程）书籍，
暂时未列入高考范围，不知道以后如何。
小明的任务很简单，就是一步步升级练功打怪，一级级攀登高峰。
在升级练功的路上，小明有可能遭遇到两种情境。
一种是负面情境，叫做”绊脚石”，妨碍学生理解数学原理。。
一种是正面情境，叫做”金蛋”，帮助学生理解数学原理。
（注：“金蛋”这个说法，借用了著名数学家陈省身的比喻——“下金蛋的鹅”）
遇到了绊脚石，小明就会跌个头破血流，产生厌学情绪。
遇到了金蛋，小明就会进入沉浸式思考，透彻理解数学原理，学习兴趣大增。
小明的求学之路上，第一项要务就是识别“绊脚石”并提前规避。
只有这样，才能节省出必要的时间和精力，放在“金蛋”上面。
那么，中小学数学知识点中，有哪些绊脚石呢？
一般来讲，内容越多，领域越广，绊脚石就越多。
初中数学知识是小学数学知识的数十倍，高中数学知识又是初中数学知识的数十倍。
这么多的知识点杂凑在几本书中，其混乱复杂程度可想而知。
没错，就是混乱复杂。
与大多数人的想象相反，数学领域并非一个渐进的、系统的、充满了定理和公式的经典殿堂。
数学史上的里程碑式重大发现，基本上都是“突变”式的。
各种数学模型和数学理念，并非天衣无缝，而是不断发展完善着。
当小明进入了高等数学殿堂之后，他就会发现，他面对的不是一个秩序井然的大礼堂，而是一片广袤无边的未知之地。
古今中外的数学工作者都在其中忘我工作，奋力发掘，使用、发现并创造出更多更新的数学工具。
小明所受的前期教育，就是为了这样一片天地而准备的。
如此繁多驳杂的知识点，都要集中在薄薄几本书中，其内容组织难度之高，可以想见。
中小学数学课本中的知识内容，尤其是高中数学内容，基本上是从高等数学中裁剪出来的。
既然是裁剪，不免就会丢掉一些东西。
有时候，丢掉的是一些至关重要、影响全局的东西。
比如，Klein（克莱因）提到的“高观点”。
这就相当于人为制造了理解障碍，即“绊脚石”。
中小学知识点中，哪些属于“绊脚石”部分？
这是我要讨论的主题之一。这也是最容易引起争议甚至非议的部分。
高中（以及初中）的绊脚石分布广，数量多，影响面巨大，不是一两句话能说清楚的，后文再细细讨论。
我们先从小学数学中的绊脚石说起。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

02.小学数学中的绊脚石

02.01 绊脚石之“除法教学中的除数和商的概念”

小学数学中有两大绊脚石。
(1) 竖式
(2) 除法教学中的“除数”和“商”的概念

小学生在学习数学中遭遇的一大部分挫折，都是这两块绊脚石引起的。
从数学思维角度来看，这些挫折感不会有长期影响。
小学数学内容极少，而且，小学数学知识将不断在初中和高中重复使用，
因此，小学数学思维不会对中学数学思维造成深远的影响。
这些挫折感带来的影响，主要是是心理方面的，即“厌学”——讨厌数学。

小学生在数学学习中遇到的主要困难，实际上是“数学语言理解困难”。
小学数学的一个重要任务是帮助小学生理解并掌握数学语言（包括数学符号）的使用。
很多时候，小学生不理解“数学”，其实只是不理解老师所使用的数学语言。

我们来看小学数学教材中的“除法概念”教学。
小学生还处于具体运算思维和形象思维阶段，需要从具体事例中学习。
于是，“分东西”就成为除法教学中最常见的教学情境。
比如，几个小朋友分苹果，每个人分几个，等等。
遗憾的是，除法算法模型本身涉及的复杂度，已经远远超过了“分东西”所能涵盖的范畴。
强行使用“分东西”情境来讲解除法模型，很多时候，适得其反，人为制造理解障碍。

小学数学教材中的“除法概念”教学，很大程度上，就是一个语言游戏。

15分成3份儿，每份是几？
每份3个，15个能分成几份？

在这些除法的数学模型中，除数是什么意义？商是什么意义？份数？份额？

在小学数学老师的博客和论坛中，我看到很多老师都在纠结于“除数”和“商”的概念问题。
我也看到很多家长在抱怨，孩子总是搞不清楚“除数”和“商”的概念。

我的看法是，只要还纠结于这些语言游戏中，“除数”和“商”这两个概念是没有办法搞清楚的。
只能慢慢熬，等到中学阶段，这些问题说不定一下子就想通了。

除法算法的数学模型，理解起来确实不容易。
这是除法算法这个数学模型本身的复杂度决定的。
要透彻理解除法算法的数学模型，必须透彻理解如下几个关键点。
(1) 透彻理解乘法中两个乘数（因数）的交换律。
(2) 透彻理解乘法和除法之间的逆运算关系。
(3) 在除法存在余数的情况下，商和除数之间的交换律在什么条件下成立。

关于除法算法的具体情境，涉及的准备知识太多，一言两语说不清楚，后文会引入详细的“金蛋”情境。

学父五迁

02.02 绊脚石之“竖式”

数学史上，竖式取得了巨大胜利，完胜算盘和算筹，成为全世界通用的多位数加减乘除的笔算法。
我看过国内的几个出版社的小学数学教材，以及一套美国的获奖小学教材《gomath》。
在这些课本中，竖式仍然是多位数加减乘除的通用算法，甚至是唯一算法。
竖式的地位，为何如此重要，不可动摇？
我思前想后，最后得出来的结论是——这是个小小的历史遗留问题。
竖式确实有一些不可忽略的优势，比如，最关键的优势——数位对齐。
除此之外，竖式还有一个小小的优势——节省了不少数学符号的书写。
但是，从培养小学生数学思维的角度来看，“节省数学符号书写”这一条，是优势，还是劣势？还值得商榷。
尽管竖式本身确实有一定的优势，但是，竖式带来的负面代价更为巨大。
竖式对于格式的要求极为严格。
在竖式中，每一个数字的位置，都有严格的规定。
在竖式中，学生没有任何的发挥自由度。
学生不能使用各种速算法，不能使用凑整法，不能自由使用交换律、结合律、分配律。
本来可能产生的诸多“金蛋”体验，就这么被竖式这个绊脚石给硬生生抹杀了。

郑毓信在《数学教育:从理论到事件》一书中引用了一位台湾妈妈讲述的故事。
妈妈带着儿子和女儿在外吃了三份比萨，每份199元（当然是台元）。
妈妈问儿子和女儿：三份比萨，每份199元，一共要多少钱。
儿子已经上了三年级，念叨着：三九，二十七进二，三九，二十七进二......
妈妈，你有没有纸和笔？我需要纸和笔来写“进位”，否则会忘。
女儿还在上幼儿园，扳着手指头，也在数。
过了一会儿，女儿就告诉了妈妈：600元给阿姨，她会找给妈妈3元。
妈妈问女儿怎么算的。
女儿说：我用数的啊！199过去就是200，400，600，三个人一共要600元。
但是，阿姨一定要找给我们3元，因为她多拿了3元嘛。
更富有戏剧性的情节还在后面。
两年后，女儿也上小学了。
妈妈再次带着儿子和女儿在外吃饭，类似的场景，妈妈再次让儿子和女儿算钱。
女儿和儿子异口同声地要纸和笔，没有纸和笔就算不出来。

这个故事中描述的思维桎梏，主要原因之一是数字和数量模型之间的脱节问题。
小学生在学习“数字”符号的时候，把数量模型的形象体验给抹杀了。
思维桎梏的第二个主要原因就是竖式。
竖式的严格固化格式，经过长期大量训练之后，就禁锢了小学生的算法思维。

竖式发挥最大效能的情境，通常也是竖式弊端最大的情境。
比如，除法中，尤其是循环小数除法中，竖式节省数字符号书写的效能最高，同时，带来的弊端也最为明显。
其中，“试商”就是一个明显的人为障碍。
除法本质上就是减数相同（即除数）的连减法。
一次减不完，下次再减就是了。
只有竖式这种格式僵化的算法，才要求一次到位，把商的每一个数位都一次确定，
于是，创造出“试商”这种人为的需求。
纯属于“没有问题，制造问题也要上”，徒耗了师生大量的宝贵时间和精力。
试商，是小学数学教学中一个常见的难点问题。
我在不少老师的博客上看到关于“试商”教学的种种讨论。

在我看来，竖式的负面作用如此显著，远远超过那一点优势。
为什么全世界的小学课本中仍然把竖式作为唯一的加减乘除通用算法？
为什么不用一个更加灵活的算法来代替？
即使对于一个普通人来说，创造一些灵活的加减乘除通用算法，也是一件很容易的事儿。

之所以没人这么做，我想，主要原因在于，对于成年人来说，这只是小事儿一桩。
在今天的日常工作生活中，笔算的地位并不太重要。
除了学习竖式的小学生，人们日常生活中不太常用竖式。
而且，到了中学之后，竖式带来的思维桎梏也不那么明显了。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

03.代替竖式绊脚石的金蛋

03.01 加减法的通用算法

竖式的最大优势就是数位对齐。
我们完全可以在普通等式算法中借鉴数位对齐的思路。

我的建议是，小学生不得不进行竖式训练的时候，
可以同时采用其他形式进行验算，扩展思路。

先来看加法。

123 + 59

竖式算法如下。

  123
+  59
-------
  182     （个位到十位，有进位操作）

第一种普通算法（运用凑整）如下。

123 + 59 = 123 + 60 - 1 = 182

第二种普通算法（模拟竖式格式）如下。

123 + 59 =

   123 +  
    59 =
-------------
   123 +
    60 - 1 =
--------------
   183 - 1 = 182


第三种普通算法（数位拆项，体现位值概念）如下。

123 + 59 = 100 + 20 + 3 + 50 + 9 =

   100  +
    20  +
     3  +
    50  +
     9      =
-------------
   182

请注意，第二种和第三种算法形式，只是为了表现普通算法的灵活性。
做试卷的时候，还是要遵守现行判卷标准。

再来看减法。

123 - 59

竖式算法如下。

  123
-  59
-------
   64     （个位、十位、百位，有借位操作）


第一种普通算法（运用凑整）如下。

123 - 59 = 123 - 60 + 1 = 64

第二种普通算法（模拟竖式格式）如下。

123 - 60 =

   123 -  
    60 + 1 =
-------------
    63 + 1 = 64


第三种普通算法（数位拆项，体现位值概念）如下。

123 - 59 = 100 + 20 + 3 - 50 - 9 =

   100
+   20
+    3
-   50
-    9    =
-------------
   100
-   50

+   20
-    9

+    3  =
--------------
    50
+   11
+    3
-------------
    64

学父五迁

03.02 乘法的通用算法

再来看乘法。

24 × 26

竖式算法如下。

     24
×   26
-----------
    144  
+   480
------------
    624


第一种普通算法（运用拆项和分配结合律）如下。

24 × 26 = (20 + 4) × (20 + 6) =

   20 × 20    ##         400
+  20 ×  4    ##          80
+  20 ×  6    ##         120
+   4 ×  6    ##          24

（注：## 符号是一些常见计算机编程语言中的注释符号。这里借用一下。）

=

   400
+   80
+  120
+   24
---------
   624

这种算法有几个好处。
第一个好处就是乘法简单，全都是个位数的表内乘法。
第二个好处就是练习了分配律，同时体验了组合情境（二项展开）。
第三个好处就是加深了数量级、数位、位值等重要概念的体验。
第四个好处就是有助于发现速算规律。

这个两位数的乘法算式存在着明显的速算规律。
十位数相同，个位数之和等于十。
这样类型的题目做上几道，学生很可能自行“发现”出速算规律。

上式 = 20 × 20 + 20 × (4 + 6) + 4 × 6 = 20 × 30 + 4 × 6 = 624

十位数相同，个位数之和等于十。
这样类型的题目做上几道，学生很可能自行“发现”出速算规律。
速算规律如下。
十位数是2，那么，百位数就是 2 × (2 + 1) = 6
后两位就是个位数的乘积  4 × 6 = 24。
最后结果就是 624。

运用这个速算原理，可以很快计算出下面的乘法。

77 × 73 = 7 × 8 × 100 + 7 × 3 = 5621

很多乘法速算原理都是分配结合律的运用。
如果局限于竖式算法的话，小学生很难有机会自行“发现”这些速算规律。

自由格式乘法通用算法还有一个好处，那就是有助于发展出新算法。

有一种有趣的多位数乘法算法，叫做“铺地锦”，
其基本思想就是上述的分配律多项展开算法。

学父五迁

03.03 除法的通用算法

再来看除法。

133 ÷ 17

竖式算法如下。


           7
    -----------
17  |    133
         119
--------------
          14

这个除法竖式需要“试商”。

普通算法（运用连减法和分配结合律）如下。

133 ÷ 17

17 × 5 = 85     
133 - 85 = 48

17 × 2 = 34
48 - 34 = 14

商 = 5 + 2 = 7
余数 = 14

133 ÷ 17 = 7 + (14 ÷ 17)

说明一下，上述的结果中，(14 ÷ 17)是余数部分。
因为14小于17，不够减了，就成为余数。

为了突出余数，课本中一般写成如下形式。

133 ÷ 17 = 7 ..... 14

我还是倾向于比较“原始”的形式。

133 ÷ 17 = 7 + (14 ÷ 17)

这种形式有一个好处，等号“=”两端的相等关系能够明确保持。

两端同时乘以17，就可以转换成乘法形式。

133 = 17 × 7 + 14   # 除数是 17，商是7

这个除法中的余数（14）超过了商（7），所以，乘法和除法之间的逆运算并不成立。

试试用7做除数。

133 ÷ 7 = 19

这就涉及到了除法算法中的种种复杂细节问题。
这就涉及到另一个绊脚石——除法教学中的“除数”和“商”的概念问题。

学父五迁

03.04 小数除法的通用算法

我们再来看上述的除法算式。

133 ÷ 17 = 7 + (14 ÷ 17)

等式右边的余数部分，14 ÷ 17，实际上是一个分数。

把除号（“÷”）换成分数线（“/”）。

14 ÷ 17 = 14 / 17

从形式上来看，分数没什么了不起的，只不过是除法算式的另一种写法。
但是，从概念上来看，分数很了不起，一下子突破了整数世界的最小数量单位“1”，进入了小于1的微观世界。
从此，小学生的数学世界观不再完整，而是变得支离破碎。

在竖式中，分数化小数之类的小数除法，非常简单。
只要对齐小数点，形式上不需要发生任何变化，就可以直接进行。
从形式简洁方面来说，这是一个巨大优势。
从节省数学符号数学来说，这是一个巨大优势。
但是，从小学生的数学思维培养方面来说，这可能并非优势，反而是一个劣势。

下面我给出一种小数除法的通用算法。
从常见的分数化循环小数问题开始。

1/9 = 0.1 × (10 / 9)   

这一步相当于分子分母同时乘以10。
竖式中其实也有这么一步，但是，这些重要细节被竖式的简洁形式给掩盖了。
这种掩盖是优势，还是劣势？


10 / 9  = 1 + 1/9

1/9 = 0.1 × (10 / 9) = 0.1 × (1 + 1/9) = 0.1 + 0.1 × (1/9)

整理如下。

1/9 = 0.1 + 0.1 × (1/9)

右边等式也出现了 1/9。
这正是之前做过的除法。
循环节一下子就识别出来了。
循环节的原理也出来了。
余数成为被除数，一旦出现相同被除数，循环节就出现了。

这个算法，把所有掩盖在竖式形式下的细节，全都翻了出来。
这种体验，对于小学生来说，是非常重要的。
这是一个重要的金蛋。
为什么这么说？

上述算法中，已经出现了“代数”概念的雏形。

这里的“代数”不是指未知数，而是指一个具体的分数“1/9”。

1/9 = 0.1 + 0.1 × (1/9)     （1）

1/9 = 0.1 + 0.1 × (1/9)     （2）

上述两个等式一模一样。
（2）式右边的 1/9 用 (1) 式替换。

1/9 = 0.1 + 0.1 × (0.1 + 0.1 × (1/9) )

整理如下。

1/9 = 0.1 + 0.01 + 0.01 × (1/9)

这个过程重复下去，就产生了这么一个等比数列。

0.1,   0.01,  0.001,  0.0001 ......

这个等比数列（比例为0.1）的和，就是 1/9 的小数形式。

等比数列有多重要？
等比数列就是指数形式。
指数有多重要，这个金蛋就有多重要。
指数之所以重要，是因为指数的另一个身份——对数。
但是，即使在中学的算法练习中，指数部分也是严重不足的。
现在，有了这么一个好的金蛋，小学阶段就可以充分体验等比数列（而且还是一个收敛级数）。
这还没有完。循环小数化成分数，又涉及到等比数列的求和公式，同样是一个重要的金蛋。
从各方面来看，分数和循环小数，都是一个难得的金蛋。
现行的小学数学教学中，这么好的金蛋，竟然被僵化的竖式形式给遮盖了。

我的观点是，与其拿各种语言游戏为难小学生，还不如给小学生多一些直观具体的体验。
哪怕小学生一时之间还无法完全掌握所有的思想精髓，这种体验也是至关重要的。

再看一个例子。

2/11 = 20/11 × 0.1 = 0.1 + 9/11 × 0.1 =
0.1 + 90/11 × 0.01 = 0.1 + 0.08 +  2/11 ×0.01

到了这一步，出现了相同的被除数（上一次除法的余数），于是，出现循环。

这个过程重复下去，就产生了这么一个等比数列（比例为0.01）。

0.18,   0.0018,  0.000018,  0.000018 ......

这个等比数列的和，就是 2/11 的小数形式。

分数化循环小数，还有一个庞大的金蛋——数论中的同余理论。
循环节实际上就是10的幂次除以除数的余数循环。
这是竞赛中常见的同余题型。
目前尚未出现在选拔应试中，暂不赘述。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

04 代替除法教学绊脚石的金蛋

04.01 乘法的两个维度、交换律、分配律、结合律

小学生在数学学习中遇到的主要困难，实际上是“数学语言理解困难”。
小学数学的一个重要任务是帮助小学生理解并掌握数学语言（包括数学符号）的使用。
很多时候，小学生不理解“数学”，其实只是不理解老师所使用的数学语言。

我们来看小学数学教材中的“除法概念”教学。
小学生还处于具体运算思维和形象思维阶段，需要从具体事例中学习。
于是，“分东西”就成为除法教学中最常见的教学情境。
比如，几个小朋友分苹果，每个人分几个，等等。
遗憾的是，除法算法模型本身涉及的复杂度，已经远远超过了“分东西”所能涵盖的范畴。
强行使用“分东西”情境来讲解除法模型，很多时候，适得其反，人为制造理解障碍。

小学数学教材中的“除法概念”教学，很大程度上，就是一个语言游戏。

15分成3份儿，每份是几？
每份3个，15个能分成几份？

在这些除法的数学模型中，除数是什么意义？商是什么意义？份数？份额？

在小学数学老师的博客和论坛中，我看到很多老师都在纠结于“除数”和“商”的概念问题。
我也看到很多家长在抱怨，孩子总是搞不清楚“除数”和“商”的概念。

我的看法是，只要还纠结于这些语言游戏中，“除数”和“商”这两个概念是没有办法搞清楚的。
只能慢慢熬，等到中学阶段，这些问题说不定一下子就想通了。

除法算法涉及的细节相当复杂，绝不是一个“分东西”的情境就可以说清楚的。
强行用“分东西”情境来讲解除法算法，最终的结果，很可能是作茧自缚，把自己都给绕进去了。

要透彻理解除法算法的数学模型，必须透彻理解如下几个关键点。
(1) 透彻理解乘法中两个乘数（因数）的交换律。
(2) 透彻理解乘法和除法之间的逆运算关系。
(3) 在除法存在余数的情况下，商和除数之间的交换律在什么条件下成立。

欲学除法的正式通用算法，必先学习乘法的正式通用算法。

乘法的正式通用算法就是三条核心运算定律——交换律、分配律、结合律——的反复应用。

首先来看交换律。

口口口口口
口口口口口
口口口口口

上面的立方格，共有3行5列。
这种矩形（长方形）的数量模型，有两个维度。
一个维度是3，一个维度是5。
这两个维度可以交换。
转置一下，就是5行3列。

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

这就是乘法的交换律。
乘法就是加数（乘数）相同的连加法。
通过上述模型，小学生很容易就可以理解，3个5等于5个3。


再看分配律。

口口口
口口口

口口口
口口口
口口口

5个3可以分成两部分。
第一部分是2个3，第二部分是3个3。

这两部分合起来，就是结合律了。

乘法的交换律、分配律、结合律，迟至四五年级，才在小学数学课本中正式出现。
同样，我不认为这是一个理解难度的问题。
一个七岁以上的小朋友，理解上述事实并没有什么难度。

这还是一个语言的问题。
交换律、分配律、结合律，这些词语对于低年级小学生来说，并不是那么容易理解。
于是，这些词语的正式引入就推后了。
连带着这些数学规律的正式体验，也跟着推后了。

实际上，这些数学规律的正式体验，完全可以先于语言，提前进行。

掌握了这些规律之后，小学生可以轻而易举地构造出倍数表（乘法表）。

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
2,  4,  6,  8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
4,  8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100


请注意，上述的倍数表和乘法口诀表（九九表）有些区别。
首先，这个倍数表有十行十列。
其次，这个倍数表是满行满列的。

这种倍数表有什么好处呢？
首先，交换律十分明确。
这个倍数表是关于主对角线（左上到右下）对称的。
其次，每一行倍数列，都是一个等差数列。
第3个数加上第4个数，就等于第7个数。
每一列也是如此。
这意味着什么？
这意味着分配律和结合律对于整行整列都成立。
第2行加上第5行就等于第7行。
以后自行推出等差数列求和公式，也是水到渠成的事情。
这些有趣的规律，都能够引起小学生的兴趣。

小学生自己构造出这个乘法表，不仅能够轻而易举掌握表内乘法，
同时还能对分配律、结合律深入掌握，从而轻松过渡到多位数乘法。

现在，就有一个问题了。
乘法口诀表（九九表）需不需要背诵？
当然要背。
中文口诀最容易背诵了。
这是中文的优势。
中国小学生没有理由放弃这个优势。
问题只在于，怎么背。
我的建议是，首先构造出这个倍数表。
然后，根据这个倍数表的主对角线，抛掉对称重复的右上部分，只留左下部分。
剩下的左下部分就是乘法口诀表的结果部分。
然后，根据坐下部分，自行编制乘法口诀表。
然后，再背诵自己编制的这个乘法口诀表。
这个过程就有趣得多。

学父五迁

04.02 商和除数之间的交换律在什么条件下成立。

除法的正式通用算法，其数学思想怎样讲解？

我觉得，比较好的方法是使用上述的矩形数量模型。

比如，15 ÷ 3

这个除法算式的意义如下。
把15摆成如下的矩形数量模型，要求其中一个维度是3，请问另一个维度是几？

15个格子，每一行摆3个，一行行摆下去。

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

恰好摆了5行。
那么，另一个维度就是5。

15 ÷ 3 = 5

预先指定的维度3就叫做除数。
另一个求出来的维度5就叫做商。

试着用商（5）做除数。

15 ÷ 5 = 3


可以看到，上述除法中，除数和商可以交换。

除数和商的这种交换关系，任何情况下都成立吗？

不一定。

上述的除法没有余数（余数为0），商和除数之间的交换律成立。

有余数的情况下，除数和商的这种交换关系就不一定成立了。
需要分情况考虑。
当余数小于商的情况下，除数和商的这种交换关系。
当余数大于等于商的情况下，除数和商的这种交换关系。

下面举两个例子。

第一个例子。

23 ÷ 7

口口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口

口口

23 ÷ 7 = 3 + (2 ÷ 7)

除数是7，商是3，余数是2。

说明一下，上述的结果中，(2 ÷ 7)是余数部分。
因为2小于7，不够减了，就成为余数。

为了突出余数，课本中一般写成如下形式。

23 ÷ 7 = 3 ..... 2

我还是倾向于比较“原始”的形式。

23 ÷ 7 = 3 + (2 ÷ 7)

这种形式有一个好处，等号“=”两端的相等关系能够明确保持。


试着用3做除数。

25 ÷ 3

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

口口

25 ÷ 3 = 7 + (2 ÷ 3)

除数是3，商是7，余数是2。

除数和商之间的交换关系成立。


第二个例子。

25 ÷ 7

口口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口

口口口口

25 ÷ 7 = 3 + (4 ÷ 7)

除数是7，商是3。

试着用3做除数，余数是4。

25 ÷ 3

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

口口

25 ÷ 3 = 8 + (2 ÷ 3)

除数是3，商是8。

商不再是7，而是8。

除数和商之间的交换关系不成立。

学父五迁

04.03 倍数列扩充为同余数列

从上述的倍数表中抽出一行，比如，第3行。

3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

首先，在这个数列的前面补上一个 0 。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

然后，根据这一行，构造下面一行。
下面一行的每个数都是上面一个数加上1。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

重复上面步骤，构造第三行。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
2,  5,  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32

重复上面步骤，构造第四行。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
2,  5,  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33

对每一行的每个数，都除以3，记录余数，构成余数行。
余数行符合什么规律？

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

对于倍数表的每一行，都尝试这个过程。

这是个小小的金蛋。
其主要效用在于帮助小学生更深入地理解除法、同余的概念。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

05 超级大金蛋——核心数学模型——矩

05.01 数学中的核心模型——矩

不以规矩，不成方圆。
矩的本意是直角尺，经常用于指代长方形。
比如，矩形就是指长方形。
矩的至关重要的根本关键特征是有两个维度。
这个特征，使得矩成为现代数学的核心数学模型。

矩形数量模型中体现的乘法交换律、分配律、结合律。
坐标（坐标架），勾股定理，矩阵，向量，复数，三角函数，等等。

物理学中，两个量的乘积，也经常用“矩”来定义。
力矩、磁矩、扭矩，等等。

矩的两个维度是正交垂直的。
当这两个维度不再正交垂直的时候，矩就泛化成平行四边形。
向量空间中的平行四边形法则，虽然简单易懂，
却是整个现代数学模型至关重要的基础法则（坐标架基底）。

规矩，规矩。
规画出的圆，也是数学中的核心模型。
复数的单位根，三角函数，切线，割线（弦），周角，等等。

不过，圆的出现较晚，中学阶段才出现。

矩就不同了，小学阶段就初步引入了。
很多中学阶段的重要算法的核心思想，经过适当的完整的情景化之后，完全可以让小学生体验。

学父五迁

05.02 倍和、倍差问题的矩形数量模型演示。

小学阶段常见的应用题型（含竞赛），如倍和、倍差、追及问题，全都可以用矩形数量模型形象演示。
这意味着什么？
这意味着，乘除法的引入，和这些问题的引入，完全可以同时进行。
这些问题有助于学生熟悉乘除法的算法，有助于学生自行构造乘法表和乘除算法。

倍和问题。
乙的格数是甲的2倍，甲乙的总格数一共有18格。
请问，甲乙的格数各有多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是2行。

口......
口......

甲乙的格数加起来就是3行。

口......
口......
口......

18格分成3行。
可以采用如下的方法。
18格，每行3个，摆起来。

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

行列转置一下，就变成了3行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

甲的格数就是1行6个，乙的格数就是2行12个。

再看倍差问题。

乙的格数是甲的3倍，乙比甲的格数多了14个。
请问，甲乙的格数各是多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是3行。

口......
口......
口......

乙比甲多出了2行格数。

口......
口......

多出的这两行，一共有14个。
那么，每行就有7个。
甲的格数就是1行7个，乙的格数就是3行21个。

这里只演示了初级倍和、倍差问题。
更为复杂的倍和、倍差问题（比如，竞赛题型），同样可以用矩形数量模型演示，详见后文。

学父五迁

05.03 追及问题的矩形数量模型演示

甲每分钟生产2格，
乙每分钟生产3格，
甲生产了5分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，乙的产量能追上甲？

甲生产了5分钟。

口口
口口
口口
口口
口口

甲生产了10个。
接下来，乙也开始生产。

甲         乙

口口
口口
口口
口口
口口
------------------- 5分钟之后
口口     口口口
...      .....

5分钟之后的那部分，
乙的每一行都比甲的每一行都多1个（乙每分钟比甲多生产1个），
甲和乙的每一行都去掉2个。

口口
...

去掉这一块之后，甲乙剩下的部分如下。

甲            乙

口口
口口
口口
口口
口口
------------------ 5分钟之后
             口
             ...


乙剩下的每一行，表达了这样的含义：
乙每分钟比甲多生产1个。

现在，甲和乙分别剩下的部分，也应该是相等的。

甲剩下的部分是10个。
乙剩下的部分，也应该是10个。

10个分成每行1个，就是10行。
答案就是10分钟。

这里只演示了初级追及问题。
更为复杂的追及问题（比如，竞赛题型），同样可以用矩形数量模型演示，详见后文。

05.04 方格分割推导各种公式

正方形是矩形的特例。
正方形和平方数之间有直接联系。
根据这个关系，可以构造出不少金蛋。

口口口
口口口
口口口

上面的正方形由 3 × 3 的方格组成。
请问，如果正方形的边长从3格变为4格，需要增加多少个方格？

回回回回
口口口回
口口口回
口口口回

摆一下就知道，增加了7个。
如果继续增加边长，从4格变为5格，需要增加多少个方格？
9个。

这个规律继续推导下去，可以发现很多有趣的规律。

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 的平方

一个从1开始的奇数列（等差为2的等差数列）之和，构成一个平方数。

如果正方形的边长从5格变成6格，那么，需要增加 2 × 5 + 1 个。
代数形式就是 2x + 1。
其中x表示正方形的边长。

中学阶段，这个金蛋将成长为一个难以想象的巨蛋。
中学阶段，可以推出如下规律。

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

边长x增加1，面积就增长 2x + 1，这就是面积的变化量。
这已经具有了微分的雏形。

假设边长增长了h，面积增长多少？

(x + h)^2 = x^2 + 2xh  + h^2

这就顺便推出了二项式的平方展开公式。
矩形整数模型（正方形面积）表现如下。

| -  x -  | - h - |

口.......口回....回  --
..................    h
口.......口回....回  ---
回.......回口....口  ---
..................    x
回.......回口....口  ---

上面的数量模型分为四块。
左下角就是 x^2，右上角就是 h^2, 左上和右下两块相等，都是 xh。
小学阶段，x和h可以设置为给定的整数。
设 x + h = a，上述这个数量模型还可以推导出 (a - h)^2的公式。

回到原问题。
边长x增长了h，面积增长量是 2xh  + h^2。
这就是“差分”。

在 y = x^2 的函数图像中。
选择两点。

(x, x^2)
(x + h, x^2 + 2xh  + h^2)

这两点连起来，就是一条割线（弦）。
“差分”就是两点之间的高度差（割线高）。

面积的增长率是 (2xh  + h^2)/h = 2x + h
这就是“差商”（割线斜率）。

h无限小，两点无限接近直到重合。
割线就化作切线。
“差分”（割线高）就化为“微分”（切线高）。
“差商”（割线斜率）就化为“微商”（切线斜率）。
“微商”就是导数。

（注：以上说法引自于林群院士的《微积分快餐》）。

y = x^2 的切线斜率函数是 y = 2x。

y = 2x 和x轴[0, x]之间的三角形面积，就是 2x × x / 2 = x^2

这就构成了微分和积分之间的一对矛盾。

学父五迁

05.03 各种二项式公式的推导

| -  a -  | - b - |

口.......口回....回  --
..................    c
口.......口回....回  ---
回.......回口....口  ---
..................    d
回.......回口....口  ---


令 g = a + b,  h = c + d。
则 a = g - b, b = g - a
c = h - d, d = h - c

于是，可以轻而易举推导出大量的公式。

(a + b)(c + d)
(a + b)(h - d)
(g - b)(h - d)


小学阶段，a、b、c、d可以设置为给定的整数。

下面的面积变形，将帮助学生理解( a + b) (a - b) = (a^2 - b^2)

5^2 - 2^2 = (5 + 2) × (5 - 2)

口口口回回
口口口回回
口口口回回
回回回口口
回回回口口


回回口口口回回
回回口口口回回
回回口口口回回
口口
口口

这些矩形数量模型构造，常见于各种数学教案、数学科普书籍中。

《通俗数学名着译丛-28-奇妙而有趣的几何》（[英]戴维·韦尔斯）一书的197页至198页之间，
有一小节叫做 “proof by looking 直观证明”，记录了一些复杂的公式。
其中有一个公式是：从1开始的自然数列，自然数的立方和，等于自然数的和的平方。

1^3 + 2^3 + ...... n^3 = (1 + 2 .... + n)^3

这么复杂的公式，直接用一张方格图搞定，十分强大。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

06.因数分解引出的金蛋

06.01 因数分解构成的反比例函数图像

质因数分解是一项重要的数学技能，对于理解数量模型的本质，有着重大意义。
但是，在现行的中小学教材中，质因数分解的分量明显不足。

在我看来，与其浪费时间去做哪些纯粹的计算题，还真不如做一些因数分解的游戏。
因数分解本身只是一个小小的金蛋。
但是，这个小小的金蛋，能够引出其他的大金蛋。

我们来看一个初级的例子。
试着对24进行因数分解，把24分解成两个正整数的乘积，列出所有分法，并构造出相应的矩形数量模型。

列举如下

24 × 1

口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

12 × 2

口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口

8 × 3

口口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口

6 × 4

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

4 × 6

口口口口
口口口口
口口口口
口口口口

3 × 8

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口


2 × 12

口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口

1 × 24

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口

上述的矩形数量模型，左下角重合在一起，就构造出如下的反比例函数图像。
xy = 24
（请注意，小学生并不需要理解反比例函数图像的概念，也可以构造这个图像）

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口口
口口
口口
口口口
口口口
口口口口
口口口口
口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

这仍然只是一个小小的金蛋。
但是，这个小金蛋只需要再前进一步，就可以演示一个至关重要的数学模型——倒数函数的积分形式（对数）。

学父五迁

06.02 因数分解演示反比例函数的系列矩形面积

下面，给出一个特殊的数量32 （2的5次方）。
根据上述过程，通过因数分解，构造反比例函数图像。


口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

1 2    4      8               16                              32

我用数字标出了上述的几个位置。
每一对相邻数字之间，都夹着一个矩形。
这些矩形的面积都是相等的，都等于16。

1和2之间，从2的右边一格(即2)开始，到2之间，一共有1列，每列有16格，1列就有16格。
2和4之间，从2的右边一格(即3)开始，到4之间，一共有2列，每列有8格，2列就有16格。
4和8之间，从4的右边一格(即5)开始，到8之间，一共有4列，每列有4格，4列就有16格。
8和16之间，从8的右边一格(即9)开始，到16之间，一共有8列，每列有2格，8列就有16格。
16和32之间，从16的右边一格(即17)开始，到32之间，一共有16列，每列有1格，16列就有16格。

1和4之间，就夹着2倍的16格，即32格。
1和8之间，就夹着3倍的16格，即48格。
1和16之间，就夹着4倍的16格，即64格。
1和32之间，就夹着5倍的16格，即80格。

2和8之间，就夹着2倍的16格，即32格。
2和16之间，就夹着3倍的16格，即48格。
2和32之间，就夹着4倍的16格，即64格。

4和16之间，就夹着2倍的16格，即32格。
4和32之间，就夹着3倍的16格，即48格。

8和32之间，就夹着2倍的16格，即32格。

然后，再注意到，1、2、4、8、16、32分别是2的0、1、2、3、4、5次方。

这些位置点之间的距离，存在着指数关系。
这些位置点之间夹的面积，存在着倍数关系。

两个位置的指数（即对数）相差多少，夹着的面积就是16格的多少倍。

比如，8和32这两个位置。
8是2的3次方。
32是2的5次方。

指数（对数）相减。

5 - 3 = 2

那么，8和32之间就夹着2倍的16格。

还可以进一步推出各个位置点之间的面积关系。

1和4之间的多个矩形面积 = 8到32之间的多个矩形面积

由于 32 = 4 × 8

可以验证如下关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]之间的面积

因为如下关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [4, 32]之间的面积

[1, 4]区间的面积 = [8, 32]之间的面积

[1, 8]区间的面积 = [4, 32]之间的面积

这个模型隐藏的含义是什么呢？
如果熟悉对数函数性质的话，就可以看出来这里面的“乘法变加法”的对数关系。

倒数形式的反比例函数 (比如， 1/x,  32/x,  24/x 等) 图像，
和x轴 （1, x]区间段之间夹的系列矩形面积，
设为一个变量为x的面积函数。
这个面积函数的值和变量 x 之间呈对数关系。

在微积分中，1/x 的积分函数是自然对数函数 ln(x)，其定义就是 1/x 函数和x轴[1, x]之间区间的曲边梯形面积。
这是微积分中最重要、最常用的公式之一。
但是，这个公式的来龙去脉，很多普通文科工科的本科微积分课本中，也没有详述。
高中课本就更别提了。
这些常用的微积分公式已经进入了高考范围。

上述的模型，尽管只是一个基于整数位置点的简单模拟，但已经把基本数学原理演示出来了。

这是一个大大的金蛋。
有助于学生将来理解反比例函数、指数、对数、倒数函数的积分自然对数，等等。

这部分的内容牵扯很多，会扯出很多金蛋，后文细说。

学父五迁

06.03 小小金蛋——因数个数的排列组合

对数量24进行质因数分解，结果如下。

24等于 2的3次方 乘以3。

24 = 2^3 × 3

请根据这个质因数分解式，求出24的所有因数（包括从1和24）的个数。

这个问题，需要用到排列组合中的乘法原理来解决。

解法如下。

24的因数，可以写成这样的形式： 2的a次方 乘以3的 b次方。
a的取值范围是 0, 1, 2, 3, 共有4种情况。
b的取值范围是 0, 1 共有2种情况。
根据乘法原理，共有 4 × 2 = 8 种情况。
于是，24的因数个数就是8。
24的所有因数，也可以分别对a、b取值来得到。

排列组合中的乘法原理，一般要到中学才学到。
因此，这是一个小学埋起来、中学才用到的小金蛋。

有些参加数学竞赛的小学生，提前学习排列组合知识，
那么，在小学阶段就可以用到这个金蛋了。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

07 复杂倍和、倍差问题的矩形数量模型演示

有些倍差、倍和问题，非常复杂，但是，万变不离其宗，都可以用矩形模型演示。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的4倍还多3个，甲乙的总格数是33个。
请问，甲乙的格数各是多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是4行，另外还多出3个。

口......
口......
口......
口......

口口口

甲乙的总格数就是5行加3个。

口......
口......
口......
口......
口......

口口口

那么，33减去3，就是30。
30分成5行。

先把30摆成5个一行。

口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口

一共摆出6行，每行5个。
转置一下，就变成了5行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

乙的格数就是一行的6个，甲的格数就是四行的24个再加3个，也就是27个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的5倍少3个，甲乙的总格数是21个。
请问，甲乙的格数各是多少。

引入了一个虚拟的丙。
假设丙的格数是甲的5倍。
那么，丙的格数就比乙多3个。
甲丙的格数就比甲乙格数多3个，也就是21多3个，也就是24个。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，丙的格数就是5行。

口......
口......
口......
口......
口......

丙和乙的总格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

24个分成6行。
先把24个摆成6个一行。

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一共摆成4行，每行6个。
转置一下，就变成了6行，每行4个。

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乙的格数就是一行的4个，丙的格数就是5行的20个，
甲的格数就是丙的格数的20个减去3个，也就是17个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的6倍少7个，甲比乙的格数多18个。
请问，甲乙的格数各是多少。

引入了一个虚拟的丙。
假设丙的格数是甲的6倍。
那么，丙的格数就比乙多7个。
那么，丙的格数就比甲多出 18 + 7 = 25个。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，丙的格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

丙比甲多出5行。

口......
口......
口......
口......
口......

25个分成5行。
摆成5个一行，一共可以摆成5行。

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转置一下，还是5行，每行5个。

甲的格数就是1行5个，丙的格数就是6行30个，
乙的格数就是丙的格数减去7个，就是30个减去7个，也就是23个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的2倍。
丙的格数是甲的3倍。
甲乙丙的总格数是18个。
请问，甲乙丙各自的格数。

推演如下。

甲的格数是一行。

口......

乙的格数是两行。

口......
口......

丙的格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

甲乙丙加起来就是9行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

18个摆成9行。
摆成9个一行。

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一共摆成两行，转置一下，就是9行，每行2个。

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甲的格数是1行2个，乙的格数是2行4个，丙的格数是6行12个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的2倍多3个。
丙的格数是乙的3倍多4个。
甲乙丙的总格数是52个。
请问，甲乙丙各自的格数。

推演如下。

甲的格数是一行。

口......

乙的格数是两行多3个。

口......
口......

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丙的格数如下。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

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丙的格数是6行多13个。

甲乙丙加起来就是9行多16个。

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口......
口......
口......
口......
口......
口......
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总数52减去16，等于36。
36个摆成9行。
可以从倍数表中查到，另一个维度是4。
每行4个。

也可以把36摆成9个一行。

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一共摆出4行，转置一下，就成了9行，每行4个。

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甲的格数是1行4个，乙的格数是2行4个加3个，也就是11个，
丙的格数是6行24个加13个，也就是37个。