幸福大观园

标题: 《数学建模直观游戏》 [打印本页]

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:15:01 标题: 《数学建模直观游戏》

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》附录

附录01. 参考资料

《奥林匹克中小学系列教材迎春杯数学竞赛指导讲座》
数学竞赛网
中小学教材，包括数学、物理、化学、生物、地理等科目，包括人教、沪教、苏教等出版社。
大学数学教材，主要是微积分和概率统计。
中小学各科目教案。
国外小学数学教材，《gomath》。

数学科普读物（包括但不限于以下列表）
推荐一些数学科普读物。
都是中学以上内容的。有些可以引入小学。
可在网上先参阅一下样章，看是否对脾胃。
《无穷无尽的数》
《漫话数学》
《生活中的数学》
《数学方法趣引》
《数学家的眼光》
《数学趣谈》
《数学眼光透视》
《数：科学的语言》
《虚数的故事》
以上是个人标准挑选的。
数学科普书籍太多了，我参阅了好多，以上这些是我反复参阅的。

小学的数学普及读物。
挺多。只是，感觉算不上“科普”，在系统性和深度上实在有限。
别说竞赛了，就是普通的数学考试，可能都应付不了。

如《数学童话故事》、《汉声数学》、《数学启蒙》（《mathstart》）、
《阶梯数学》、《奇迹幼儿数学》等等数学相关的故事绘本。
这些绘本图文并茂，包含了很多孩子们喜闻乐见的小故事。
其故事形式非常值得借鉴，但内容本身，仍然属于结构单调重复的虚构“数字”运算。
而且，在体系完善程度上，也难以完全替代小学数学课本。
还有一类“智商测试游戏”书籍，如《逻辑狗》、《多湖辉》、《百花思维》等。
这些书籍对于开发儿童的智力方面（如空间几何图形识别能力），有很好的作用。
只是这些题目围绕各种“智商”能力，内容本身离数学体系较远，和小学数学课本内容甚少重合。
在数学学习方面，这些书籍主要起激发兴趣和思考的辅助作用。

关于数学绘本，我看过一本讲座资料《数学绘本教学的开发》（繁体版）。
里面分类整理了翔实的数学绘本资料。
有兴趣的读者，可以找来看看。

信誼基金會之數學圖畫書
華一精編啟蒙數學
遠流出版社之【魔數小子】系列
漢聲精選世界兒童數學叢書
時間教學相關繪本
數學繪本教學舉例
與時間概念有關之繪本的議題

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:15:36

本帖最后由学父五迁于 2014-10-26 22:38 编辑

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》附录

附录02. 常见问题

1.
问：本书能否当做一本中小学数学竞赛教程使用？

答：部分可以。
本书涵盖了很多与高阶知识联系紧密、实用意义较大的数学竞赛题型。
本书没有包含那些偏“纯粹娱乐性质”的题型——比如，填写“虫蚀”空格类，填写幻方类，等。
因此，本书可以当做一本题型不全面的数学竞赛教程来使用。

2.
问：本书能否当做一本小学数学教材使用？

答：完全可以。

3.
问：本书能否当做一本初中数学教材使用？

答：大部分可以。具体情况待写。

4.
问：本书能否当做一本高中数学教材使用？

答：部分可以。具体情况待写。

5.
问：本书能否当做一本大学数学教材使用（自考本科）？

答：小部分可以。作为启蒙读本使用。

6.
问：本书能否作为其他科目教材使用？如物理、化学、生物、地理等。

答：小部分可以。
本书涵盖了理科其他科目的重要计算题型，但远远不够全面。

7.
问：本书中出现的“立方格”教具例子，能否用其他教具替换。

答：大部分可以。
“立方格”教具的使用可以分为三种情况。
第一种情况，当做立方块使用。这种情况下，可以用其他现有的立方块模型代替。
第二种情况，当做“容器”使用，比如构造坐标系的时候。可以用棋盘、纸面坐标等代替。
只有在翻转对称操作（如逆函数）的时候，才不可以代替。但这种情况很少。
第三种情况，拼接特定结构（如杠杆、天平、框架等）的时候。这种情况就难以代替。不过，这种例子很少。

8.
问：本书是一本学生用书吗？

答：当然不是。本书是一本师长用书。老师和家长用的。

9.
问：本书是一本师长用书吗？

答：是。

10.
问：本书对应的学生用书是什么？

答：没有。
需要仿照华德福的自制课本理念，由学生自己制作。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:16:35

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

01. 数学可以学多早？学多快？

现代社会，孩子越来越聪明，应试竞争越来越激烈。
教育进度，也呈现出越来越早、越来越快的态势。
小学生的入学年龄，从七周岁提前到了六周岁。
现实操作中，不少孩子五周岁就上了小学。
十来岁就考上大学（甚至拿到自考本科证）的“早慧儿童”，屡见于报端。
中小学数学课本中的内容也越来越难，引入了越来越多的数学竞赛知识。
一些三年级的小学数学教材中，就已经引入了初阶“图论”——“一笔画问题”。
小学课本引入了更多原本属于中学的知识。中学课本引入了原本属于大学的高等数学知识。
一些三年级的小学数学教材中，就出现了“文字代数形式”的面积公式，
一些四年级的小学数学教材中，就出现了“字母代数形式”的一元方程式。
各种“成功”案例说明，提高小学生的学习效率，是完全可能而且可行的。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:17:05

只是，我骨子里是个保守主义者，我一直秉承“安全第一，效率第二”的原则。
我内心一直无法免除一种深切的忧虑——这种多快好省的教学进度，符合儿童的思维发展规律吗？
会不会拔苗助长，竭泽而渔，过度透支儿童的思维发展潜力？

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:17:29

根据著名儿童发展学家皮亚杰的理论，从小学开始，少年儿童的数学思维发展分为两个阶段。
第一个阶段是基本运算阶段，大致在七周岁到十二周岁之间，对应小学阶段。
“基本运算”的主要意思是“基于具体数字和数量的运算”。
在这个阶段，小学生主要发展形象思维能力。
第二个阶段是形式运算阶段，十二周岁以上，对应中学、大学阶段。
“形式运算”的主要意思是“抽象字母符号的代数形式运算”。
在这个阶段，中学生主要发展抽象思维能力。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:18:00

根据上述理论，我有了一个基本的认识。
十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:18:24

十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。
前苏联儿童发展学家维果茨基也观察到了类似的现象。
维果茨基发现，尽管很多儿童已经掌握了“因为”、“所以”这样的表达因果关系的词汇，
但是，他们实际上并不真正清楚原因和结果之间的因果关系，他们只是模仿了这些词汇的表达而已。
维果茨基比皮亚杰稍微激进一些。
维果茨基认为，经过适当的科学训练，可以适度加快儿童的认知过程。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:19:02

美国的儿童发展学家，普遍都激进一些。
皮亚杰曾经微讽地提到：如果你研究出儿童的基本运算阶段从七周岁开始，
美国人立刻就会去研究，这个年龄能不能提前到六岁？五岁？四岁？

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:19:25

这正是美国的研究风格，带动了全世界的“早教”、“快教”潮流。
即使我最欣赏的华德福教育方法也不能免俗。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:19:57

华德福教育方法讲求艺术教学手法、整体学习、节律学习、身体运动韵律学习等，反对过早过度开发孩子的抽象思维。
华德福的课程设计着眼于运用学生的所有感官、全部身心来体验学习的内容。
比如，华德福的几何课讲到“圆”，可能会先让学生在操场上去跑几个圈子，
然后，回到课堂，用“形线画”的方法，把刚才跑过的“圆”形路径画出来。
华德福小学生在初次接触奇数偶数概念的时候，会在“晨圈”的时候，一边走圈子，一边根据自己的落脚大声数数。
比如，落左脚，数奇数，落右脚，数偶数。
华德福小学生背乘法表也是如此，一边走圈，一边大声背诵乘法表。
这是华德福教学的特色，将身体运动的节律和背诵结合起来，运用全身心记忆。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:20:16

我非常欣赏这种理念，参阅了不少相关华德福著作。
结果，我吃惊地发现，一些现代华德福教育已经与时俱进了，在小学一年级就引入了“字母代数”形式。
其理论依据是，华德福重视语言学习，“字母代数形式”也不过是一种数学语言，和其他语言没什么区别。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:20:48

这种说法，和我对华德福教学方法的理解完全不同。
据我理解，华德福重视语言，是重视口语，重视听说，重视声音符号的语言形式。
对于文字符号，华德福建议先从形线画过渡到写字之后，再开始阅读。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:21:20

具体数字符号，对于具体的物体数量来说，已经是一级抽象了。
字母代数形式，对于具体数字符号来说，又是更高一级的抽象了。
那些现代的华德福教育家，对这么重大的区别，如此轻描淡写，令我难以适从。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:21:49

当然，我只是一个华德福教育的门外汉。
我一直被华德福的核心理念《人智学》“障”在了堂奥之外，我对华德福教学方法只有皮毛上的理解。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:22:20

每个人都有固执的一面，我还是坚持自己的保守主义。
本书旨在保护小学生的形象思维。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:23:07

要达到保护的目的，空喊口号是毫无意义的。
优质教育资源毕竟是有限的，优质教育资源的分配必然需要一个公平的竞争机制。
在这样的现实下，对大众呼吁“晚上学”、“慢教学”这些口号，注定是徒劳无功的。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:23:36

在我看来，要保护小学生的形象思维，只能从教学形式本身入手。
本书力图达到两个目的。
第一个目的，本书力图比其他教学资料——包括绘本、童话、故事、课本、教材、竞赛辅导书、科普读物等——教得更多、更快、更好。
只有达到了这个目的，才可能吸引大众，才谈得上第二个目的。
第二个目的，尽量多使用教具模型操作、身体韵律、形线画、游戏、故事等形象教学方法，
尽量推迟具体数字符号的引入，尽量推迟抽象代数符号的引入，从而最大限度地保护和发展小学生的形象思维。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:25:37

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

02. 数学模型

狭义上讲，“数学模型”这个词语，专指数学工具在现实中的应用。
“数学建模”这个词语，就是指使用各种数学工具，分析并归类现实问题，
抽取重要参数，设计数学函数公式，归纳出相应的“题目类型”，建立对应的“数学模型”。
比如，电梯调度问题、交通管理问题、社区规划问题，都属于数学建模问题。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:26:02

自然科学中的其他科目，如物理、化学、生物、地理等，
也都要用到数学工具，推导出数学公式，建立数学模型。
这也是数学建模的过程。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:26:40

数学建模，就是数学工具在现实领域中的应用。
数学建模大赛，在所有数学竞赛中，实用意义最高。
遗憾的是，数学建模大赛，是大学阶段的竞赛，中学阶段没有建模大赛。
这可能是因为，中学生掌握的数学工具还不够丰富。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:27:54

本书的名字中的“建模”二字，也是建立数学模型的意思。
不过，本书讲解的数学模型，面对中小学生。
本书的建模问题，并非现实社会中的未知问题，而是数学、物理、化学、生物、地理等各个科目中的现成数学定理。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:28:22

本书运用故事力，将一些高年级、跨科目的重要定理，用小学生能够理解的故事形式，表现出来，
从而让小学生就能够理解并操作相应的数学模型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:29:14

除了这个高层次的含义之外，本书的“建模”还有低层次的含义——数学教具模型。
数学教具模型，并非什么新鲜理念，早已流行了一个多世纪了。
其中，几何造型的教具居多。
表现大数量模型的教具，并不是很多。
蒙台梭利教具中的十进制珠子展示教具是其中一个，能够表现个、十、百、千等大数量。
数量“10”用一条10个珠子的珠串来表示。
数量“100”用一个“10 X 10”的珠子平方板来表示。
数量“1000”用一个“10 X 10 X 10”的珠子立方体来表示。
一些家长反映，使用这套教具，四五岁的孩子就能够轻松掌握以及千以内的加减法进位退位等计算。
单从这个效果看，这套教具就比一般的一二年级数学课本要强许多。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:29:49

不过，这套教具只能演示最基本的数量模型，而且，并非最佳演示模型。
皮亚杰曾在著作中提出一套类似的教具模型，以“立方块”为基本数量单元。
比起珠子，立方块更适合作为基本数量单元。
因为，立方块很容易扩展为长度（一维直线）、面积（二维平面）、体积（三维空间）的概念。
一些新编的小学数学课本、教案、竞赛教程中，也开始使用立方块模型，表示个、十、百、千等十进制数量概念。
单个立方块，就代表个位上的一个单位；十个立方块组成的条子，就代表十位上的一个单位；
10 X 10 的立方块构成的平方板，就代表百位上的一个单位；
10 X 10 X 10 的立方块构成的立方体，就代表千位上的一个单位。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:30:17

在展示数学概念方面，立方块相对于珠子，优势显著。
在此基础上，我进一步改进，把“立方块”改进成了“立方格”——即，空心的立方块。
立方格不仅可以像立方块一样，成为单元数量模型，其本身还可以作为容器，装入豆子、珠子等数量模型。
这样，立方格教具就相当于蒙台梭利教具和皮亚杰教具结合了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:30:45

我为什么要做出这样的改造？
因为，立方格是“容器”。
这一点，具有深远的意义。
由于立方格是容器，因此，把立方格在各个维度方向拼接起来，就能构成一维、二维、三维的坐标系。
我们可以把豆子、珠子等小数量模型放入到坐标系的“格子”里，构成坐标点，表达更为复杂的数学模型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:31:19

本书中，数量表达形式的进化过程如下。
(1) 教具模型。立方格，袋装豆子，杯装豆子，等。
(2) 形线画。由一个外圈和圈内横线构成。外圈是一个正立椭圆，圈内是一条条短横线，代表数量。
(3) 具体数字。0到9这十个阿拉伯数字组成的数字。
(4) 文字代数形式。如“底 X 高”这样的面积公式。
(5) 字母代数形式。如“a + 5 = 12”这样的带有未知数的方程等式。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:31:49

本书尽量推迟这个进化过程。
本书尽量把高阶知识转化成低阶形式，以便低年级小学生就可以提前接触高阶知识的具体运算步骤。
这正是本书的重要特色之一。
本书的课程安排，遵循着从“特殊到一般”的归纳过程。
前一个阶段的运算练习，通常是后一个阶段概念的特化后的具体运算步骤。
这样形成前后串接、藕断丝连、连续迭代的关系。
当师长后面讲到相关数学概念的时候，小学生已经提前获得了相关概念的具体运算操作的体验感受。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-26 22:32:19

下面说说具体年龄段的内容安排。
七周岁到十二周岁之间，共有五年时间。
本书为这五年时间安排了充裕的内容，即使是打算参加数学竞赛或提前自考的早慧儿童也能吃得饱。
这部分内容的表现形式，基本上不会超出前四种，最多只抽象到“文字代数形式”的程度，不会出现“字母代数形式”。
十二周岁之后，大门彻底打开，包括字母代数形式在内的一切数学语言，都可以自由引入了。
对于七周岁之前就开始学习数学的孩子，我更是要着力推荐本书了。
因为，本书注重形象思维，推迟抽象符号，比其他教材更“安全”。

作者: 姗姗妈 时间: 2014-10-27 10:49:44

哇！原创的！

谢谢学父！

作者: 姗姗妈 时间: 2014-10-27 10:50:30

有时间仔细看。
现在都不爱动脑筋了，怂恿孩儿爸来钻研

作者: 楚漪 时间: 2014-10-27 12:59:20

估计得大孩子了吧，幼儿园的小朋友飘过

作者: 一起成长 时间: 2014-10-27 14:01:21

这贴跟定了

作者: 一起成长 时间: 2014-10-27 14:02:27

楼主，请问是边写边更新还是已经写好陆续搬上来？我主要是想知道您更新的进度

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:52:53

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

03. 多项式与层柱法

本章是全书的方法论纲领，涵盖诸多关键数学思想，用到很多术语。
若是感到陌生或难解，略过即可。
后面的章节中，会对本章提到的内容，循序渐进的讲解。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:55:09

[温馨提示：此段术语众多，可先绕行]
我们先来看多项式的概念。
一般的小学课本中，加减乘除四则运算的主要数学工具是“竖式”。
在漫长的数学发展史上，竖式的出现，具有里程碑般的重大意义。
比起算盘、算筹等更加古老的计算工具，竖式具有重大的优势，
整个计算过程在纸面展开，一目了然，数位对齐明确，进位借位清晰。
直到今天，竖式仍是小学课本里的重要数学工具。
遗憾的是，竖式尽管形式简便，却难以清晰表达每一步计算步骤，
从而阻碍了学生对数学思想原则的深入把握。
说得严重点，竖式，已经成为了学生通往数学思想之路的一道“障”。
本书放弃竖式，代之以“多项式”。
多项式，是整个数学体系中最为重要的数学表达形式之一。
多项式的基本概念很简单，就是一个多个加项的加法合式。
其中的加项可能有负号，那就体现为减法。
就是这么简单的一个形式，成为了数学中表达“数”的最通用形式。
从高等数学的观点来看，所有的数字，都能够表达为“幂级数”多项式。
比如，十进制数字543210，其“幂级数”多项式如下。
543210 = 5 X 10^5 + 4 X 10^4 + 3 X 10^3 + 2 X 10^2 + 1 X 10^1 + 0 X 10^0
为了行文方便，本书采用计算机程序中的乘方符号“^”来表达幂的乘方运算。
“^”之前是底数，“^”之后指数。
一些读者可能对幂、级数、底数、指数这些概念已经陌生了。
没有关系，这段可以跳过去。
后面的章节中，本书会循序渐进，逐一讲解这些概念。
相对于竖式，多项式的优点如下。
交换律、分配律、结合律是数学运算中的基础“三定律”。
小学生在多项式展开合并的过程中，能够直接体会分配律、交换律、结合律的数学原理。
而且，易于推出速算规律。几乎所有的速算规律都是应用“三定律”推导出来的。
除此之外，多项式能够清晰表达每一步计算步骤，体现其中的重要数学思想。
竖式无法应用“三定律”，无法推出速算规律，
无法一步步清晰体现具体计算步骤，更无法体现重要数学思想。
相对于多项式，竖式有两条形式上的优点。
第一点，竖式在数位表达、对位移位表达上，清晰简洁。
第二点，竖式比多项式少写了很多展开项。
对于第一点，多项式的移项操作熟练之后，在数位对位方面，能够全面超过竖式。
对于第二点，多项式的同样可以省略大量的中间展开合并步骤，只留下关键步骤，既保留优势，又弥补劣势。
综上，本书弃用竖式，采用多项式。
本书的各种数量模型表达，也是围绕着多项式来搭建的。
数学中，，最重要的数量表达法，叫做“进制”表达法。
我们日常中使用的数字，都是“十进制”数字。
其构造过程是这样的，我们先把具体物体分成十个一组，剩下的数量（即余数），就是个位数，组数就是十位数。
比如，有三组，剩下五个，那么，十进制数字就是“35”。
这个分组构造的过程，实际上是一个减数相同的“连减法”。
从总数量中，每次都“去除”一个“10”，最后，剩下的“余数”就是个位数。
我们知道，这种减数相同的连减法，实际上就是“除法”。
严格来说，叫做“带余除法”——即，带有余数的除法——只能应用在整数领域。
“带余除法”是整个小学阶段中，最为重要的数学运算。
“带余除法”是所有进制表达法的基础，也是重要数论概念“同余”的基础。
“同余”是中小学数学竞赛中的重要题型，也是大数运算校验中的重要实用方法。
“带余除法”的本质就是把一个数量分成两项。
第一项是除数的“倍数”，第二项是小于除数的“余数”。
“倍数项”加“余数项”，构成的二项和式，就是本书中最为重要的多项式。
我称之为“倍余式”。
本书中，“带余除法”和“同余”的讲解，都是围绕着“倍余式”的构造。
针对“倍余式”的构造，我特意设计了一个模型构造过程方法——层柱法。
层柱法的意思是，一层层地累积立方格，构造出一根根等高的立柱。
这实际上就是除法的流程。
每一层的立方格数量都相等，都等于“除数”。
我称之为“除数层”。
最后构造出来的立柱的数量——“柱数”，恰好就等于“除数”。
立柱的高度，就等于“商”。
层柱结构，就是一个长方形，也叫做矩形。
“层”代表横向维度，对应长方形的宽度；“柱”代表纵向维度，对应长方形的高度。
多余出来的不够一层“除数层”的立方格，就是“余数”部分，构成“余数层”。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:55:53

下面举个简单的例子。
比如，我们有八个立方格。这里用八个“口”字表示。
口口口口口口口口
我们需要把这些立方格分成三根柱子，柱数（即除数）等于三。
构造过程如下。
首先，我们从原有数量中“去除”三个立方格。
我们就得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
口口口
原有数量变成了五个立方格。
口口口口口
我们再从其中“去除”三个立方格。
我们又得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
我们把这一层新的“除数层”叠放在第一层“除数层”上面，我们就得到了两层“除数层”。
口口口
口口口
这两层“除数层”构成的模型，我们称之为“倍数项”模型。
“倍数项”模型就是一个层柱模型。
层宽就是柱数，也就是除数，等于三；柱高就是层数，也就是商，等于二。
原有数量现在只剩下两个立方格，不够三个，不够一层“除数层”。
这两个立方格就构成了一层“余数层”，我们也可以称之为“余数项”模型。
口口
原有的八个立方格就分成了两项——“倍数项”和“余数项”，对应一个“倍余式”。
口口口
口口口 + 口口
请注意，上面的加号“+”只是在文中使用，方便师长阅读。
上述的模型，包括两项——“倍数项”和“余数项”。
其中的“倍数项”模型由三根立柱组成，也可以称作“三柱型”。
除数是几，就分成几柱，就叫做“几柱型”。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:56:32

在一般的小学数学课本中，“除法”的讲解方式一般都是“分堆法”。
比如，六个苹果，分给三个小朋友，怎么分啊？
你一个，我一个，他一个。一人一个。这么分下去。
最后的结果是，每个小朋友面前都有一堆苹果。
三个小朋友，就有三堆苹果。每堆苹果有二个。
这种“分堆法”有一个很大的问题，很难表现真实的“除法”算法。
真实的“除法”算法是连减法，每次减去相同的除数。
比如，这个分苹果例子中，就是不断地减去三。
但是，“减去三”这个操作，在这个例子中体现得并不明显。
你一个，我一个，他一个。一人一个。确实每次共减去了三个。
但是，小朋友在模拟分堆的过程中，并不会特别注意到“每次共减去了三个”这件事儿，
只会注意到每个人面前的小堆中有几个苹果了。
“层柱法”突出了“每次去除了三个”这件事儿，解决了这个问题。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:57:22

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

04. 一生二

孩子到了上小学的年龄，基本上都能从“1”数到“100”了。
但我们不能认为，刚上学的孩子已经真正理解了这些“数”的含义。
为了保险起见，对于刚上小学的孩子，我设计了这么一套“计数”游戏。
这套“计数”游戏基于立方格数学模型。
为什么不从“扳手指数数”开始？
有这么几个原因。
第一个原因，手指数目有限。我们都听说过“手指头不够，扳脚趾头数数”之类的笑话。
第二个原因，手指长短不一，形态各异，“个性”显著，并不适合抽象出“数”的概念。
相比之下，豆子、珠子之间形态极为相近，而且个数不受限，比手指更加适合充当计数的模型。
当然，如前面章节所述，我认为，立方格这种“规整”的形状，是更为适合的计数模型。
随着学习的进阶，小学生将接触到“数轴”、“测量”等概念。
豆子、珠子只适合表达“离散”的“整数”，难以表达“数轴”、“测量”等概念。
而立方格则可以轻易地“数轴”、“测量”等概念。
因此，我主推立方格作为主要的计数模型。
手指、豆子、珠子等，则作为次要的计数模型。
多种计数模型轮换使用，能够帮助小学生建立不同计数模型之间“映射”的概念，从而抽象出“数”的本质。
“映射”是“集合论”中的概念，表示两种计数模型之间的一一对应关系。
“映射”同样是“函数”概念的基础。
“映射”是数学概念的重中之重，也是本书的重中之重。
本书的原则是，意会大于言传，尽量避免使用语言直接“灌输”，尽量帮助孩子在层层递进的游戏中体会“顿悟”的喜悦。
孩子初学计数时，师长不要急于求成，不要急于灌输数字符号的读写。
首要的任务是，帮助孩子建立“数量模型”的形象直观概念。
这个过程需要一步步来，慢慢来，一个数量一个数量的来。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:58:01

下面，我们从数量“1”开始。
师长进行示范，教导孩子进行“1”的计数动作。
(1) 把一个立方格摆放在桌面上。
(2) 用手指点着这个立方格。
(3) 拍一下手，口中念“第一个”。
(4) 口中念“共一个”。
可能会有人觉得，步骤太多，小题大做。
但这些基础步骤，是后面更复杂程序的基础。
孩子跟着师长的示范，照做几次。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:58:36

接下来，师长进行示范，教导孩子进行“2”的计数动作。
(1) 再拿一个立方格，叠放在第一个立方格上面。
(2) 用手指从上到下一划，口中念“从上往下数”。
(3) 拍一下手，用手指点着上边的立方格，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，用手指点着下边的立方格，口中念“第二个”
(6) 口中念“计数完成。共有二个”。
这个计数完成了吗？还没有。
上面的计数，是从上到下进行的。
下面，师长还需要示范从下到上的计数动作。
(1) 还是那两个上下叠放的立方格。
(2) 用手指从下到上一划，口中念“从下往上数”。
(3) 拍一下手，用手指点着下边的立方格，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，用手指点着上边的立方格，口中念“第二个”
(6) 口中念“计数完成。共有二个”。
孩子跟着师长的示范，照做几次。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:59:10

接下来，师长进行示范，教导孩子进行“2”的“散放计数”练习。
师长把上下叠放的两个立方格，平摊在桌面上，左右并排摆在一起。
根据前面步骤，示范从左到右计数，再示范从右到左计数。
孩子跟着师长的示范，照做几次。
这就完了吗？还没有。
师长把两个立方格分开一段较远的距离。
比如，一个放在左下角，一个放在右上角。
师长先示范从左上角开始计数，再示范从右上角开始计数。
孩子跟着师长的示范，照做几次。
师长可以任意摆放这两个立方格，以任意顺序计数。
这些“散放计数”练习的目的是为了让孩子切身体验到，物体的“数量”与“摆放位置和排列顺序”无关。
看到这里，有些读者可能会觉得小题大做、啼笑皆非。
我还是重复前面那句话。我们不能想当然地认为所有孩子已经掌握了这些数学概念。
即使有些孩子已经掌握了这些数学概念，这种系统的练习，也能够进一步帮助他们加深理解。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 13:59:38

以上的立方格摆放游戏，尽管包括了一个拍手的动作，但并没有涉及整个身体的运动。
孩子的视角也是居高临下的“鸟瞰模式”。
下面，我们引入整个身体的运动——“走步计数”游戏。
“走步计数”游戏最好在拥有地板砖的地面上进行。
地板砖的大小，应该适合小孩子的步距。
如果没有合适的地板砖，可在地上画格子。
“走步计数”游戏步骤的如下。
(1) 站在一块“起点”地板砖上。
(2) 口中念“向前走”
(3) 拍一下手，左脚向前一步，踩在第一块地板砖上，口中念“第一个”。
(4) 拍一下手，右脚向前一步，踩在第二块地板砖上，口中念“第二个”。
(5) 左脚上前，与右脚并拢，站在地板砖中，口中念“共二个”。
(6) 原地向后转，口中念“向回走”。
(7) 拍一下手，左脚向前一步，踩在第一块地板砖上，口中念“第一个”。
(8) 拍一下手，右脚向前一步，踩在第二块地板砖上，口中念“第二个”。
(9) 左脚上前，与右脚并拢，站在地板砖中，口中念“共二个”。
这时候，孩子（或示范的师长）已经回到了“起点”地板砖中。
孩子们在进行这两组游戏的过程中，可以切身体会到“立方格数量”和“步数”之间的“映射”关系。
在此之上，“走步计数”游戏中，已经隐含了“奇数偶数”的概念——左脚踏入的地板砖对应“奇数”，右脚踏入的“地板砖”对应“偶数”。
在此之上，“走步计数”游戏中，已经隐含了“一维数轴”、“原点”和“正负数方向”的概念。
这也正是本书的特点。初级阶段的游戏，通常隐含了高级阶段的概念，为将来的学习做个铺垫。
立方格游戏和走步游戏并不一定要在同一个地点连续进行。
师长可以把这两组游戏分别安排在不同的时间和地点进行。
等到孩子们都大致熟悉具体步骤之后，师长可以提供统一节拍来协调孩子们的步调。
统一节拍的提供，方法多样，比如“拍手”、“吹哨”、“鼓点”、“敲琴”等方式。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:03:40

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

05. 二生三，三生万物

“2”的计数游戏完成之后，我们继续推进到数量“3”。
......
到此为止，我们建立了从“1”到“9”的数量模型。
数量“9”的“走步计数”游戏，步骤如下。
......
在对应每个数量的走步游戏中，师长可以提示孩子注意，最后一块砖是哪只脚踏入的。
奇数（序数）对应的最后一块砖，由左脚踏入；偶数（序数）对应的最后一块砖，由右脚踏入。
在这个阶段，不需要向学生讲解奇数和偶数的概念，由学生自行体验即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:05:03

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

06. 结绳？计豆？

现在，我们已经建立了“1”到“9”的数量模型。
接下来，我们引入一个新游戏——“计豆”游戏。
“计豆”游戏用豆子数量来“映射”（或者说“记录”）立方格数量或者步数。
“计豆”游戏的目的是进一步加深体会“计数模型”之间的“映射”关系。
我们先来看豆子和立方格之间的映射游戏。
“立方格<-> 豆”之间的映射游戏，分为两个方向。
一个方向是从“立方格”到“豆”的映射，简写为“立方格->豆”映射。
另一个方向是从“豆”到“立方格”的映射，简写为“豆->立方格”映射。
这两个方向的映射游戏，师长需要为每个学生准备如下材料。
(1) 一大袋豆子，至少不低于九颗。
(2) 透明小塑料袋一个，至少可容纳九颗豆子。
立方格的形式，也有所变化。
在前面的游戏中，立方格一直是当做立方块来用的。
现在，我们要把立方格当做“容器”来用了。
我们需要使用立方格的“敞口”形式，里面可以放入豆子。
前面的游戏中，数量的立方格模型都是上下叠放形式的。
现在，我们需要使用立方格模型的平放形式，以便放入豆子。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:05:51

“立方格-> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 取出九个立方格（敞口的），并列平放在一起，构成数量“9”的立方格数量模型（平放形式）。
(2) 从大袋子中，一颗颗取出豆子，每取出一颗豆子，都放到一个空的立方格中。
(3) 所有立方格都放满了豆子之后，停止从大袋子中取豆子。
(4) 把立方格中的豆子，全都倒入到一个空的透明小塑料袋中。
这样，我们就把立方格数量（“9”）用小塑料袋里的豆子数量“记录”下来了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:06:18

有人可能会问，为什么要多此一举？把立方格数量模型直接存放起来不就行了？
这里的原因在于，相对于豆子，立方格模型的体积较大，不宜存放和携带。
用小物件的数量，来记录大物件的数量，是一种非常普遍的做法。
古人结绳记事，就是这个道理。
还有些古人用瓦罐里的小石子儿记录牛羊的数量，也是出于同样的道理。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:06:53

接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新构造对应的立方格数量模型。
这就是“立方格<-> 豆”之间映射的另一个方向——“豆->立方格”映射。
为了便于孩子理解，我们引入一个“学生座位”小问题：班里有九个学生，每个学生都需要一个座位，请问，共需要几个座位？
透明小塑料袋里的豆子就代表学生；立方格就代表座位。
现在，我们需要为每一个豆子准备一个立方格。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 拿一个空的立方格，把豆子放里面。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
最后，我们就得到了九个立方格。
我们把这九个立方格并列平放在一起，和之前的那个“九”的立方格数量模型，摆在一起。
我们发现，这两列立方格，长度相同，个数相同。
这就说明，豆子记录法能够还原本的物件数量。
以上是“立方格<-> 豆”之间的映射游戏。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:07:22

值得一提的是，上述的“学生座位”小问题，可以很容易扩展为减法问题。
比如，班里有九个学生，有六个座位，还需要几个座位？
比如，班里有六个学生，有八个座位，还能多坐下几个学生？

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:07:53

下面，我们来看“步数”（地板砖数量）与“豆子数量”之间的映射游戏。
同样，“地板砖 <-> 豆”之间的映射游戏，也分为两个方向。
一个方向是从“地板砖”到“豆”的映射，简写为“地板砖->豆”映射。
另一个方向是从“豆”到“地板砖”的映射，简写为“豆->地板砖”映射。
准备工作同上。
“地板砖 -> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 在地板上走九步，走过九块地板砖。
(2) 每走一步，就从大袋子里（可用衣服口袋）取出一颗豆子，放到透明小塑料袋中。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:08:29

接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新走过那九块地板砖。
为了便于孩子理解，我们引入一个“寻宝”小故事。
某一块地板砖下，藏着宝贝。
我们需要根据“锦囊”（也就是透明小塑料袋）中的“妙计”（也就是豆子数量），找到那块藏宝的地板砖。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 走一步，前行一块地板砖。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
如果起点相同，方向相同，我们将走到之前走到的那块地板砖。
这就说明，豆子记录法能够还原来的步数。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:08:48

数量“9”的映射游戏完后之后，我们继续做数量“8”的映射游戏。
以此类推，直到所有的数量映射游戏都完成。
以上的游戏，单人熟练之后，可以进阶成双人小组形式。
两个小学生一组。
其中一个小学生提供豆子数量，另一个小学生根据豆子数量构造立方格数量模型。
交换角色。
其中一个小学生提供立方格数量模型，另一个小学生根据立方格数量模型把豆子装入透明小塑料袋。
交换角色。
遍历从“1”到“9”的所有数量。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:09:39

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

07. 数字？刻线？形线画？

把大物件的数量，“映射”为小物件的数量，确实便于存储和携带。
只是，这种映射还是不够给力。
毕竟，小物件再小，也是有体积的。数量多了，也是不小。
而且，还有一个问题，小物件的点数，可能比大物件还麻烦。
比如，数豆子，比数立方格麻烦许多。
立方格规规整整摆在那里，很容易就数完了。
豆子圆溜溜的，不好摆放，数起来就不那么方便。
这也是为什么立方格数量模型由于豆子数量模型的主要原因之一。
这么说来，如果我们把立方格继续变小，变成比豆子还小，是否就可以解决这个问题了？
这可不一定。人的视力精度和手指操作精度是有限的，不太擅长处理过于细小的物件。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:10:57

有没有更好的方法？
当然有。这就是数字。正式名称是“阿拉伯数字”（最先由印度人发明，由阿拉伯人传播）。
作为大人，我们早已掌握了数字的概念和用法。
于是，小学数学课一开始（甚至更早），师长就理所当然地引入了数字。
不过，在我看来，小学阶段初期就引入数字，有些过于急进了。
数字是数量的抽象表达符号。
相对于数量模型来说，数字是一种过于抽象的符号。
小学阶段是形象思维阶段，应当重视形象数学模型的构建。
当然，到了处理大数量的阶段，数量模型就不够用了，小学生必须要掌握数字。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:11:25

因此，在处理大数量之前，我们需要做两项工作。
第一项工作，我们尽量把数量用模型来表现。
第二项工作，我们逐步教会小学生掌握数字。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:12:02

本章的内容就是帮助小学生掌握数字的前身——刻线记事。
同结绳记事一样，刻线记事同样是古人常用的数量“记录”方法。
古人在泥板、石板、木板等载体上刻下一条条的线段，把数量记录下来。
为什么是线段，而不是其他形状？当然是因为好刻。
还可能有另外一个原因——线段与“算筹”形态相似。
所谓“算筹”，就是一把小木棍，是古人常用的数量模型。
就像我们前面用立方格、地板砖、豆子当做数量模型一样。
一些带有颜色的高级算筹甚至可以表达正负数。
比如，红色算筹就表示负数（支出，欠款），蓝色算筹就表示正数（收入，节余）。
所以，直到现在，人们仍然习惯把亏损数额称为“赤字”。
华德福提倡“由画入字”，通过“形象画”，一步步演化为文字（包括字母和汉字）。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:12:35

下面，我就设计一套表示数量的“形线画”。
首先，我设定，每一条数量记录，都应该圈在一个上下高、左右窄的正立椭圆里面。
正如透明小塑料袋是豆子的容器一样，这个正立椭圆也是线段的容器。
那么，这个容器的形状为什么是一个正立椭圆？
这当然是为了将来引入数字“0”。
数字“0”正是一个正立椭圆的形状。
一个“空”的容器，不正是表达了数量“0”的概念吗？
椭圆内用交叉的横线和竖线的个数来映射数量。横线代表“奇数”序数，竖线代表“偶数”序数。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:13:02

下面，我直接给出从“1”到“9”的“形线画”表达（省略了外圈的正立椭圆）。
“1”的形线画就是一条横线。
-
“2”的形线画就是：“1”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
“3”的形线画就是：“2”的形象画中，加一条横线。
+
-
“4”的形线画就是：“3”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
“5”的形线画就是：“4”的形象画中，加一条横线。
+
+
-
“6”的形线画就是：“5”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
+
“7”的形线画就是：“6”的形象画中，加一条横线。
+
+
+
-
“8”的形线画就是：“7”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
+
+
“9”的形线画就是：“8”的形象画中，加一条横线。
+
+
+
+
-
以上就是从“1”到“9”的形线画表示（还需要加上一个正立椭圆的外圈）。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:13:31

之所以这样设计，一是为了节省空间，二是为了让学生提前熟悉一下加减法的符号，三是为了让奇数偶数一目了然。
如果最后一行是一条横线（减号），那么就是奇数。
如果最后一行是横竖交叉（加号），那么就是偶数。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:13:54

引入了这些“数”的形线画之后，我们需要把从“1”到“9”的立方格数量模型全都用形线画记录在纸上。
一个立方格，对应一条线段
这就是“立方格数量模型”到“形线画”的映射，简写为“立方格 -> 形线画”映射。
然后，我们根据这些形线画，重新构造出对应的立方格数量模型。
这就是“形线画”到“立方格数量模型”的映射，简写为“形线画 -> 立方格”映射。
这个步骤就很简单了，每一条线段对应一个立方格。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:14:30

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

08. 二柱型和三柱型

我们前面构造的数量模型，都是一个长条。
根据第四章《多项式与层柱法》讲述的“层柱法”，这种一根“柱”的模型叫做叫做“一柱型”。
这一章，我们运用“层柱法”，为每一个数量构造其他柱型。
请注意，同一个数量的不同柱型之间，可能加以比较。
因此，构造完成之后的柱型，需要保留下来。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:15:13

首先，我们为每一个数量构造“二柱型”。
以数量“5”为例。
二柱型的柱数为二，那么除数就为二。每一层“除数层”就由二个立方格构成。
数量“5”的一柱型，用五个“口”字表现如下。
为了节省文本空间，文中把数量“5”的一柱型横着摆放。
口口口口口
第一步，先从总数量中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”。
口口
原来的数量变成了三个。
口口口
第二步，再从中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”，叠加在之前的“除数层”上面。
口口
口口
原来的数量变成了一个。不够一层“除数层”。这是“多余”的立方格。构成一个“余数层”。
于是，数量“5”的二柱型构造完毕，由两项组成——“倍数项”和“余数项”。
口口
口口 + 口
这两项并列摆在一起，就是数量“5”的二柱型。
上述这些名词，只是为了师长阅读理解方便，并不要求小学生掌握。
小学生只要能跟着师长的示范，跟着操作就行了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:15:45

下面给出从“1”到“9”的二柱型。
“1”的二柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
“3”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口 + 口
“4”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
“5”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口 + 口
“6”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
“7”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口 + 口
“8”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
口口
“9”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口
口口 + 口
实际上，构造二柱型的过程，就是一个除以二的过程，就是判断奇偶数的模型操作算法。
现阶段，师长不必讲解这些概念，只需让小学生亲手操作体会。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:16:26

师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括两种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
这两种状态交替出现，即，以二为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的二柱型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:17:10

接下来，继续构造每一个数量的三柱型。
下面给出从“1”到“9”的三柱型。
“1”的三柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的三柱型，只有一个“余数项”。
口口
“3”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
“4”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口
“5”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口口
“6”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
“7”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口
“8”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口口
“9”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
口口口

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:17:37

师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括三种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
这三种状态以三为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的三柱型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:18:04

师长可提示学生，比较一下“6”的二柱型和三柱型。
学生可以发现，“6”的二柱型和三柱型，在形状上是等价的。
“6”的二柱型横着摆放，就是“6”的三柱型。
“6”的三柱型竖着摆放，就是“6”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
从这里，我们可以看到立方格模型的优势。
如果是蒙台梭利的十进制珠子展示器，或者圆饼教具，
如何能如此简单地横过来、竖起来？

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:19:55

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

09. 四柱型、五柱型、六柱型到九柱型

这一章，我们继续构造每一个数量的四柱型。
下面给出从“1”到“9”的四柱型。
......
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括四种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
这四种状态以四为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的四柱型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:20:16

师长可提示学生，比较一下“8”的二柱型和四柱型。
学生可以发现，“8”的二柱型和四柱型，在形状上是等价的。
“8”的二柱型横着摆放，就是“8”的四柱型。
“8”的四柱型竖着摆放，就是“8”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:21:36

接下来，我们继续构造每一个数量的五柱型。
下面给出从“1”到“9”的五柱型。
.....
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括五种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
这五种状态以五为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的五柱型。
......
需要注意的是，随着除数越来越大，余数出现的周期规律，越来越难以体现了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:22:35

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

10. 十进制

西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日，而是指孩子入学满百日。
在这一天，每个孩子都会准备一百个小物件，比如，一百个珠子，一百张卡片，一百根小棍，等等。
在这个过程中，孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验，对于孩子来说，非常重要。
下面，我们一步步构建大数量的十柱型，从而深入理解十进制的本质。
回顾之前的游戏。
数量模型构造游戏，我们推进到“9”就暂停下来了。
柱型游戏也只能推进到“九柱型”，就停下来了。
这一章，我们继续向前推进。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:23:10

我们先推进到“10”。
我们先构造“9”的一柱型，然后，在上面多加一个立方格，就得到了“10”的一柱型。
现在，我们可以构造十柱型了。
我们构造“10”的“十柱型”。
“10”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“11”的一柱型。
我们构造“11”的“十柱型”。
“11”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“12”的一柱型。
我们构造“12”的“十柱型”。
“12”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口
以此类推，我们一直推进到“19”。
“19”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
我们在“19”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“20”的一柱型。
我们构造“20”的“十柱型”。
“20”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:23:53

在这个构造的过程中，师生很容易就总结出快捷的十柱型构造规律。
只要在前面的十柱型模型的“余数项”上加一个立方格。
如果“余数层”达到了十个立方格，“余数层”就变成了“除数层”。
这一层就要移动到“倍数项”上面去了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:24:23

我们在“20”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“21”的一柱型。
我们构造“21”的“十柱型”。
“21”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口
后面的步骤，我们可以跳着前进。
比如，从“21”跳到“29”、“30”、“31”，再跳到“39”、“40”、“41”。
总之，关键步骤就是围绕着“10”的整倍数。
以此类推，我们一直推进到“99”。
我们构造“99”的“十柱型”。
“99”的“十柱型”有一个“倍数项”和“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:24:56

师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括十种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
第六种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含五个立方格。
第七种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含六个立方格。
第八种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含八个立方格。
第九种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含九个立方格。
第十种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含十个立方格。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:25:23

十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。
通过这个游戏，学生能够切身体会到，个位数字，其实就是除以十之后的余数。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:25:54

有了这么多的数量模型，现在就有一个问题了。
我们如何用形线画来记录这些数量呢？
按照之前的形线画记录法，数量“99”就需要用九十九条线段来记录。
随着数量越来越大，用于记录数量的横线也越来越多。
这实在是繁冗的数量记录法。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:26:42

我们需要引入一种更为简洁的数量记录法，用于记录更大的数量。
我们知道，所有的柱型模型都由“倍数项”和“余数项”两部分组成。
因此，我们可以分别记录“倍数项”和“余数层”这两部分。
“倍数项”的每一层都是相同的“除数层”，都含有十个立方格。
因此，我们只需要记录“层数”，也就是，记录“10”的个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“10的个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“十位”椭圆。
“余数层”只有一层，我们需要记录“余数层”中的立方格个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“立方格个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“个位”椭圆。
于是，每一个“十柱型”都需要两个椭圆——“十位”椭圆和“个位”椭圆。
下面，我们用形线画来记录“10”的十柱型。
我们在纸上画两个椭圆，左右相邻，左边是“十位”椭圆，右边是“个位”椭圆。
“十位”椭圆中的线段数量，代表“倍数项”的层数。
“个位”椭圆中的线段数量，代表“余数项”的立方格个数。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:27:50

以“49”为例。
“49”的“十柱型”有一个“倍数项”和一个“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，下面的两列符号都需要用正立椭圆包裹起来。
+ +
+ +
+
+
-

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:28:25

以“70”为例。
“70”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，“个位”椭圆保持为空，文中用“0”表示。
+ 0
+
+
-

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:28:47

师长指导学生，画出从“1”到“99”的所有形线画。
对于小于“10”的数量，“十位”椭圆保持为空，可以省略。
我们把这种形线画叫做十进制形线画。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:29:28

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

11. 百位

上一章，我们构造了“99”的十柱型和十进制形线画。
接下来，我们就要像“100”进军了。
量变引起质变。“99”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点，推进到了“100”，我们就遇到大麻烦了。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:29:54

“100”的十柱型只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:30:23

我们可以看到，“100”的十柱型，由十层“除数层”组成。
也就是说，我们需要在“十位”椭圆中，记录十条横线。
“个位”椭圆中的横线数量从未超过九条。
难道现在我们要在“十位”椭圆中打破这个规律吗？
打破这个规律又如何呢？
打破这个规律之后，我们又会陷入到我们开始遇到的问题——记录数量的横线太多。
现在，我们有了十层“除数层”，我们在“十位”椭圆记录十条横线。
如果我们有了二十层“除数层”呢？我们也在“十位”椭圆记录二十条横线吗？
如果“除数层”有三十层、四十层、甚至九十层呢？我们该怎么办？
我们也在“十位”椭圆记录九十条横线吗？那我们得需要一个多大的“十位”椭圆？
那么，我们如何解决这个问题呢？
解决思路是现成的。
前面，我们为了减少记录量，引入了一个新椭圆——“十位”椭圆。
现在，我们遇到了同样的问题，我们故技重施，再引入一个新椭圆——“百位”椭圆。
“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一板立方格——如图所示，方方正正的一板立方格。
这个方方正正的板，是个平方板，宽和高都是十个立方格，共有一百个立方格。
也就是说，“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一百个立方格（一板立方格就是一百立方格）。
“百位”椭圆正是因此特性而得名。
于是，为了记录“100”的十柱型，我们需要三个椭圆，从左到右，依次排开。
最左边的“百位”椭圆中，记录一条横线，代表一板立方格（一百个）。
中间的“十位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“除数层”。
右边的“个位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“余数层”。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:31:35

对于空椭圆，文中用“0”表示。
线段都是用椭圆包裹起来。
“100”的十进制形线画如下。
- 0 0
任务圆满完成。
这三个椭圆，在样式上没有任何区别。
这三个椭圆的进位法则也是一模一样，都是十进制，都是“逢十进一”。
“个位”椭圆是逢“十个立方格”，就进位到“十位”椭圆，在“十位”椭圆中加一条横线。
“十位”椭圆是逢“十层”，就进位到“百位”椭圆，在“百位”椭圆中加一条横线。
无论是形式，还是记录法则，这三个椭圆都完全一样。
唯一的区别在于，这三个椭圆的位置。
位置不同，代表的“数位”就不同。
“个位”椭圆中的一条横线，只代表一个立方格。
“十位”椭圆中的一条横线，代表一层，十个立方格。
“百位”椭圆中的一条横线，代表一块“百格平方板”，一百个立方格。
所谓“位高权重”，就是这个道理。数位高，权值就重。
我们可以看到，这种十柱型已经带有了明确的“十进制进位规则”。
这种十柱型就叫做十进制柱型。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:31:56

现在，我们已经构造到“100”的十进制柱型了。
这是一个具有里程碑意义的事件。
西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日，而是指孩子入学满百日。
在这一天，每个孩子都会准备一百个小物件，比如，一百个珠子，一百张卡片，一百根小棍，等等。
在这个过程中，孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验，对于孩子来说，非常重要。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:32:35

接下来，老师引导学生做一个重要的练习——把“100”的十柱型展开成一条。
一百个立方格全部铺开，是非常长的一条。
这么一个练习，是为了让学生们获得“二维平板展开为一维长度”的直观印象。
师长毋须讲解，学生自行操作体验即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:33:21

接下来，我们还要推进到“1000”以上。
下面是一些关键步骤的十进制柱型和十进制形线画。
.......

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:34:34

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

12. 百位模型的十位状态

随着立方格用得越来越多，学生们可以分成小组，合作构造十进制柱型。
“199”的十进制柱型。
......
师长提示学生观察百位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了两项——“百倍项”和“十倍项”。
“十倍项”的层数，只有十种情况。
第一种状态：一层也没有。即，没有“十倍项”。
第二种状态：有一个“十倍项”，其中包含一层“除数层”。
第三种状态：有一个“十倍项”，其中包含二层“除数层”。
第四种状态：有一个“十倍项”，其中包含三层“除数层”。
第五种状态：有一个“十倍项”，其中包含四层“除数层”。
第六种状态：有一个“十倍项”，其中包含五层“除数层”。
第七种状态：有一个“十倍项”，其中包含六层“除数层”。
第八种状态：有一个“十倍项”，其中包含七层“除数层”。
第九种状态：有一个“十倍项”，其中包含八层“除数层”。
第十种状态：有一个“十倍项”，其中包含九层“除数层”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:34:56

通过这个游戏，学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十，得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十，得到的余数，就是十位数。
十进制数字的构造过程，正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:35:33

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

13. 千位

这一章，我们就要向“1000”进军了。
量变引起质变。“999”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点，推进到了“1000”，我们就再一次遇到麻烦了。
“1000”的十进制柱型中，有了十板“百格板”。
这十板“百格板”合在一起，就构成了一个长宽高都为十的大立方体。
我们称之为“千格立方体”，因为这个立方体中共有一千个立方格。
出于同样的理由，我们不希望“百位”椭圆中的横线数量超过九。
出于同样的原理，我们引入一个“千位”椭圆，用于记录“千格立方体”的数量。
因此，“1000”的十进制形线画由四个椭圆组成，从左到右，依次排开，
分别是“千位”椭圆、“百位”椭圆、“十位”椭圆、“个位”椭圆。
最左边的“千位”椭圆中，记录一条横线，代表一个“千格立方体”。
第二位的“百位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“百格平方板”。
第三位的“十位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“除数层”。
最右边的“个位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“余数层”。
“1000”的十进制形线画如下。
- 0 0 0

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:36:03

接下来，老师引导学生做一个重要的练习——把“1000”的十进制柱型展开成十个平方板。
十个平方板全部铺开，是非常长的一条。
这么一个练习，是为了让学生们获得“三维体积展开为二维平板”的直观印象。
接下来，把其中一个平方板展开成一条。
仅此一条的长度，就等于之前的十个平方板铺开的长度了。
如果地方足够大的话，把所有平方板全都展开。
一千个立方格排成一条，几乎能超越一间教室的长度。
师长毋须讲解，学生自行操作体验即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:37:05

“1000”之后的关键数量的十进制柱型和十进制形线画如下。
......
师长提示学生观察千位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了三项——“千倍项”、“百倍项”和“十倍项”。
“百倍项”（“百格平方板”）的块数，只有十种情况。
第一种状态：一块“百格平方板”也没有。即，没有“百倍项”。
第二种状态：有一个“百倍项”，其中包含一块“百格平方板”。
第三种状态：有一个“百倍项”，其中包含二块“百格平方板”。
第四种状态：有一个“百倍项”，其中包含三块“百格平方板”。
第五种状态：有一个“百倍项”，其中包含四块“百格平方板”。
第六种状态：有一个“百倍项”，其中包含五块“百格平方板”。
第七种状态：有一个“百倍项”，其中包含六块“百格平方板”。
第八种状态：有一个“百倍项”，其中包含七块“百格平方板”。
第九种状态：有一个“百倍项”，其中包含八块“百格平方板”。
第十种状态：有一个“百倍项”，其中包含九块“百格平方板”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-28 14:37:24

通过这个游戏，学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十，得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十，得到一个商和一个余数。余数就是十位数。
商再除以十，得到一个商和一个余数。余数就是百位数。
十进制数字的构造过程，正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

作者: 学父五迁 时间: 2014-10-30 12:43:18

模型操作，重在意会，不在言传。
开始阶段，尽量少用术语。
那些术语是为了方便师长阅读。

对于孩子。
师长可以用词如下。
在讲到除法之前的很长一个阶段里，
师长可以用“完整长方形”来代称“倍数项”，
可以用“整行”来代称“除数层”，
可以用“小行”来代称“余数项”或“余数层”。

作者: 静心 时间: 2014-10-30 14:08:52

作者: 漩子妈 时间: 2014-11-2 17:50:28

欢迎光临幸福大观园 (http://www.xingfudgy.com/)