幸福大观园

标题: 在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践 [打印本页]
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:18:24     标题: 在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践

本帖最后由 书香 于 2012-4-13 11:25 编辑

像我这样一个不求上进的人，自从成为金牌会员之后，就再也没有野心——也没有动力——想要变“老”，不幸的是，今天点开每天必看的一个帖子，却发现权限从70升到了80，唉，某些人呀，就是这么滴，这么滴，不体贴。。。幽怨片刻之后，我想还是得从自己想办法。。。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:18:31

怎么办呢？我想起某些很牛的艺术家或者作家总是很谦虚地说：“我之所以成为XX，是因为我除此之外不会做别的事。”这话也适用于我，我之所以老是潜水，老是潜水，其实是因为我不太会在水面上游泳，时间久了，我越来越擅长潜水，便再也不舍得放弃如此擅长的一个专业。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:18:40

现在为了迅速变老，只好给自己打点催熟剂咯！暑假的时候翻译了一本书，以前坛子里也有人讨论过，是一个叫作 Henning Andersen 的老师写的，叫作《Active Arithmetic》，关于如何在游戏中学数学的。估计很多人有这本书的英文复印本。书里有很多图，我没有扫描，无法发出来，再加上懒，交给出版社之后就一直搁在自己的电脑里，没有发到论坛上来给大家分享。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:18:51

现在我来看看有没有不带图的比较完整的篇章。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:19:13

说实话，翻译这本书的过程中，我收获还是挺多的，对于儿童如何学数学有了一个比较感性的认识。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:21:12

本帖最后由 莫兰 于 2011-10-20 09:22 编辑

Active Arithmetic
————华德福学校低年级的游戏与数学教学


前言
这本书并不是要完整讲述斯坦纳学校（或称华德福学校）在小学低年级是如何教授数学的。例如我提到了四则运算这一重要内容但并未深入探讨，我没有触及如何将数字引入学习，关于书面算术则只是浮光掠影地一笔带过，还有许多其他重要内容则完全略去。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:21:26

本书的唯一目的在于探讨数学教学中那些可以通过身体动作展开的部分，通过这些教学去满足孩子的需要，即在所做的一切事情中体验心灵的特质。很多人会觉得这样说太狂妄了，尤其是在数学这样一门“枯燥”的学科中。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:21:38

数学这门学科的确有许多“枯燥”的方面，我们在教学中需要考虑到这些方面，但只能是在孩子到达一定年龄，获得充分发展以后。因此，数学教学不仅涉及到知识和技能的问题，最重要的是要判断孩子在特定年龄有何需要。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:21:48

本书的基本观点是，在小学的头几年，儿童的意志和情感生活远比智力重要，但这并不是说，孩子们不能够欣赏诸如数学这样的学科，相反，人类心灵中意志和情感的层面可以在数学中获得极好的呼应。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:21:56

本书不仅面向小学低年级教师，也适合父母以及与孩子朝夕相处的其他成人阅读。这些老师和成人也许正在设法满足孩子们通过游戏来活动的需要，无论是带领人数或多或少的一群孩子做一些有韵律的活动，还是想让餐桌边的孩子们有一些比较安静的事情做。无论是哪种情形，本书中所介绍的活动都可以满足孩子们的需要，同时为他们以后进行更具智力性的活动做重要准备。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:22:04

本书作者曾在华德福学校任教多年，在写这本书的过程中，脑海中会以特定的孩子或班级为对象。读者们不妨也这样做！换句话说，无论是在烹调艺术中，还是在教书这门艺术中，都绝不要照搬菜谱，而要根据您希望滋养的对象进行适当的调整，只有这样，这些菜谱对于身体或心灵来说才是有价值的。
                                                       ——亨宁•安德森（Henning Anderson）
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:23:40

第一章 导言——关于儿童数学教学
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:23:50

当我们年岁渐长，回忆起自己的学童生涯，至少会有一本课本是我们觉得无趣之极的。每天，我们都会从书包里掏出这本书，吃力地学习。从第一页到最后一页，书里写满了数字，并按照学年进度分为第一课、第二课、第三课……每一课千篇一律地分为口头练习部分和书面练习部分，每个部分又分为数字计算和应用题。每一课都包含乘法口诀、加法练习、后面也许是长长一串减法题，随后是乘法和除法练习。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:23:58

当然还有一个老师，老师的任务是在学年结束之前把课本上到最后一页，这样一来，也就没有多少余地可以在教学中发挥自己的主动性了。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:05

笔者所记得的老师是这样的：
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:14

他手里拿着书走进教室，直接走到黑板前面，挑一支粉笔，在黑板中央写下一个“7”字。然后他的眼睛越过眼镜的上边缘看着他的30个学生——为了确保所有学生都知道今天要讲的是7的乘法口诀。随后他在7的前面写一个乘号，又在乘号前面写一对括号，最后在括号里写下一系列随机数字。整个过程中，他都在用右手写字，而把脸朝着学生。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:20

他扭头的姿势使他看起来像一尊埃及雕像，当然，我是说如果忽略服饰的不同以及他鼻子上的眼镜的话。班上三分之一的学生都被叫起来考问乘法口诀：4 x 7 = 28，9 x 7 = 63，1 x 7 = 7，等等。大家回答得都很好，每个学生一周要被考到好几次。
作者: 思涵妈    时间: 2011-10-20 09:24:27

真不忍心打断，可还是想献朵花
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:29

我们喜欢我们的老师，也有点怕他，希望讨他欢心。他的课并不激动人心（没有人指望这一点），但随着我们与他越来越熟悉，我们慢慢开始喜欢他。无疑他时不时会梦想有一本不一样的数学书，但每天都会清醒过来面对现实，学校给什么，就用什么。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:37

数学课结束时，我们精神疲惫，身体僵硬，边走出教室边活动四肢。在课堂上，我们唯一的运动就是站起来回答乘法口诀。数学课本只要求我们完成脑力工作，既不鼓励身体的活动，也不存在任何可能会引起兴趣的图片，就像电话本一样了无生趣。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:44

后来的情况有了很大变化。现代数学的出现，加上人们开始注重课程的创造性，数学教学大有改观。只要把我们童年时代的数学课本与六十年代的相比，立刻就可以看出人们对数学的态度有了变化。六十年代的课本色彩缤纷，各种图画点缀其中。不仅应用题中会设计有趣的情景——例如在卡车里装上用来填满圆柱形和矩形箱子的沙，而且一切都力求给人深刻的感受，活动也获得了极大的重视。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:52

六十年代的数学课是围绕体验和活动展开的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:24:59

“在每个阶段，我们都应务必从孩子对活动和体验的需求这一角度去审视我们的课程。除了向学生传授基础知识外，学校的任务始终是发展儿童作为人的基本能力和才能，并尝试唤醒他们去真正理解日常生活中的问题。”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:25:06

“学校的目的是让孩子具备今后融入社会和担任工作所需的品质，使他们将来能够达到合理的要求。但学校的第一要务乃是使儿童有机会成长为和谐、幸福和善良的人。”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:25:12

以上这两段话引自1960年“丹麦学校的教育大纲”，也就是所谓的“蓝皮书”。比较一下之前丹麦学校法案中的措辞以及关于教育目的的说法，就会发现第二段话中所说的“第一要务”具有极其重要的历史意义。以前，教育的“第一要务”是传授基础知识，而现在的“第一要务”则涉及到人这一存在体的完全不同的方面。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:25:19

这非常激动人心，也非常有意思！
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:25:26

不过，如果翻到同一本蓝皮书中关于算术和数学的部分，读一读这门学科的目的，您还会看到一些有意思的东西。我们会发现，这门学科的目的是“向学生传授知识和技能，培养和练习学生跨出学校之后在家庭、社区及行业中所需要的技能，培养学生对于几何和算术基本规则的信心。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:25:33

如果说，引言部分“第一要务”所传达出的理想在我们到达数学部分时已经面目全非，那未免有些言过其实，但至少可以说，在传统思维方式的影响下，这一理想已经在某种程度上打了折扣。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:13

当我们被迫走上革新之路时，通常都会发生这种情形。我们的智力告诉我们应该如何去做。我们在每日的教学中，在与孩子的接触中看到——并深深意识到——我们必须作出改变。但不论多么坚定的思想和情感，都必须伴以实际的技巧，而我们并不知道如何去做。易卜生 的《培尔•金特》 就很好地描述了这种情况。在该剧中，主人公远远看到一位年轻的伐木工人为了逃避兵役而宁愿用斧子砍掉自己的手指：
       “这样想，这样希望，有这种意愿，都很自然。
      可是真的这么干了！不，这我不能理解！”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:20

真正去做是不容易的。我们很善于制定理想，也很会讲道理，却常常不能够把道理付诸实践。在小学低年级数学教学的实际操作中，我们遇到的就是这种情况。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:27

在数学课中，要如何去做才能产生活动和体验？
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:40

真正的解决方案并不是从那些与数学没有真正关联的领域借取刺激性的元素和主题，这是不言而喻的，然而我们却常常这样做。孩子在做下面这样的题目时自然会觉得很好玩。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:48

但这是不是一种深思熟虑的做法呢？孩子们所看到的图画属于数学以外的领域（通常是动物学领域），鉴于课本的编排方式，这些图画的存在仅仅强调了一点，那就是数学本身是不好玩的。我们借助马和大象来帮助我们，因为我们还没有找到一种完全符合儿童本质、本身就能激发儿童兴趣的方式。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:26:57

还有一点也让人深感遗憾。为了引起孩子兴趣，我们在数学书中看到的四足动物看上去总是那么古怪，出于同样目的而画的蝴蝶也总是花里胡哨，毫无美感。这种情况由来已久，没有任何改变的迹象，但由于成人常常忘记孩子们对美十分敏感，这种胡萝卜政策只能起到适得其反的糟糕作用。而且，仔细看看这些数学书就会发现，大多数课本歪曲了我们希望传达给孩子的人的形象，例如当我们为了显示奇数和偶数的区别或为了展示数学中的其他关系而要求孩子们将不同形状的帽子（圆锥形、金字塔形、半球形、圆柱形等）与相应形状的头连接起来时，我们就在做这样的事情。成人也许觉得这种夸张的漫画很好玩，孩子们却想不通，大人们为什么要糟蹋纸张和印刷厂的油墨。此外，这些人体部位的形状并不是真正准确的几何体，因此几何也被歪曲了。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:27:04

在数学教学中，我们要问的基本问题与我们在所有其他科目中要问的问题是一样的，那就是，这门学科与儿童的本质有何关系？与孩子在特定年龄的需求有何关系？看看“蓝皮书”中关于数学那一段，虽然我们不能说这个问题被完全忽略了，但毫无疑问，蓝皮书的立场与一直以来人们对待数学的立场毫无二致：实用性的一面，也就是与成人社会中的职业及必需技能有关的那一面，占了绝对的主导。从某种意义上来说，这是可以理解的，因为数学和算数这两门学科与儿童世界的联系是最不明显的，因此我们更容易犯一个错误——将儿童视为成人的缩小版。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:27:12

但是，如果我们尝试从人类本质的角度去看问题，而不是从成人惯常的实用角度去看待数学，这一切都会改变。我们会意识到，与人类本质有关的方面也存在于算数和数学中。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:27:42

第二章 人类本质的三个层面
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:27:55

教育界一度曾讨论过是否有必要开设专以娱乐为目的的学科，现在这些讨论已告结束。“娱乐性学科”这个词意味着必须有一些学科让孩子们从其他学科中恢复过来——在真正的工作之后，他们需要通过休息来消除紧张和疲惫。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:00

不过，现在人们已经不再这样想，相反，大家更多在讨论如何让一门学科激发出我们内在的创造力。人们意识到，艺术性的学科既能提供相关训练，也能让孩子们得到快乐。最初，这些学科旨在提供娱乐，意味着学习之后的休息；之后，由于人们换了一个角度去看待这些活动，它们变成了学习本身的基本组成部分。越来越多的人意识到，艺术在儿童的整个生活中是不可或缺的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:06

这两种想法基本上说明了人们关于“儿童的需要”和“学校的任务”的观点是如何发展的。幸运的是，一般情况下，孩子并不需要娱乐。所有健康儿童的父母都会通过许多实际经验认识到这一点，虽然这些经验常常是痛苦的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:13

事实上，儿童需要在学校的一切所作所为中发挥创造性。只有那些缺乏创造性的课程安排才使得开设创造性课程成为必要，因为这种情况下孩子会感到疲劳。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:20

一定是因为体会到了这一点，丹麦“蓝皮书”中才会有我们上文中引用的那句话，也就是用“和谐、幸福和善良”这样的词来描述人的内在层面的那句话。人们可能会质疑“和谐、幸福和善良”这几个形容词是否恰当。为了更准确地描述教育的本质，也许我们应该避免使用这样的词，而把上文中引用的两句话合并为一句：“学校的第一要务，乃是鼓励每一个机会，让孩子在活动和体验中成长。”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:26

如果把这句话当作我们的教育原则，也许我们就触及到了小学所有教学活动中的中心问题。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:32

小学阶段的教学，应以活动和体验为基础，孩子的年龄越小越是如此。对于成年人来说，心灵各个层面所呈现的顺序常常如易卜生《培尔•金特》中所说：“这样想，这样希望，有这种意愿……可是真的这么干……”成年人生活在自己的思考中，思考推动我们的情感生活，而情感又激发出意愿。
作者: 四月    时间: 2011-10-20 09:28:41

很好，听

前两天成都华德福刚给家长开了一个小学数学的讲座
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:47

然而孩子却正好相反，他们的每一天都在不知疲倦的游戏活动中度过。在幼儿园和小学阶段，孩子的情感生活渐渐变得更丰富、更复杂。在这个基础上才能建立起成人明晰的、被唤醒的思维生活。丹麦伟大作家和赞美诗作者哥戎维（Grundtvig）是这样说的：“什么是思考，当情感意识到自己，就变成了思考。”或者，像他诗中所说——
    那起初念念于心的
   渐渐带来智慧之光
  不如此，犹如从未活过……
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:28:54

活动和体验意味着感情和意志，考虑到“传授基本知识”说的就是思维生活，我们可以看到，丹麦学校的“蓝皮书”实际上与哥戎维不谋而合，说出了心灵的三个基本元素，而这正是所有儿童教育活动所应围绕的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:01

我们从意志的活动出发，经过情感生活，到达思维生活，而后者应该是这一漫长过程的结果。因此，儿童教育是一个包含这三个层次的过程，其中概念的发展位于最后。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:07

过去，人们做过很多试验来研究学习过程，尝试通过各种方法去直接训练儿童的智力，例如通过使用教学机器等。然而人们已经看到，要让孩子对思维世界具有洞察力，首先必须回归到身体活动。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:14

人们尝试过很多捷径，很多人的传记都证明了这一点，约翰•斯图亚特•密尔 的一生就是一例。密尔自幼就开始接受与思维有关的训练，小小年纪便在这一领域取得了惊人的进步，被时人视为“神童”。然而必须指出的是，他的哲学思想显示出他极端不信任那些通过思考获得的结果，而且他认为，童年的缺失与他日后人生中的危机有着直接的联系。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:20

仅仅指向思维生活的纯粹知识无益于儿童的成长，不仅仅因为这对于孩子来说太难了，而且还因为，儿童是通过活动和体验来发展的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:28

我们可能尝试过这样做，而且发现这样的教育在有些孩子身上的确有效果。但这是因为，当我们作为教师站在孩子们面前，我们或多或少总会播下一颗活动的种子，这颗小小的种子经历转化，变成了思考。对于孩子来说，这是一个必然的过程。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:34

然而，非常重要的一点是，作为教师，我们不仅要启动这一过程，而且要自始至终意识到这一过程。只有这样，我们才能避免在教学中浪费时间，做到真正“有效”——这个词用在这里也许不恰当，不过这是人们在攻击创造性或艺术性教学时常用的一个词。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:40

要做到真正有效，我们必须彻底了解上文提到的心灵的发展过程。此外，我们还必须知道，人的发展并不是一个小的逐渐长成大的，但基本结构保持不变的生长过程。实际上，在人的成长过程中，一个层面的能力会完全转化为另一个层面的能力。儿童这种生物，在长大成人的过程中，会经历彻底的转变。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:29:57

从这个角度来说，教师必须具有极大的耐心。每一天，每一年，甚至每一个生命阶段，教师都必须就前一天，前一年，前一个生命阶段的课程向学生提出问题。也许教师要克服的一个最大的障碍就是，不要前一天刚播下种子，第二天就指望收获。瑞士教育家裴斯泰洛齐 说：
     人类极大的美德是能够等待，
    不慌不忙，直至一切成熟
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:05

等待，以及在等待的过程中发现指引孩子成长的完美韵律，都需要一种力量，正是这种力量创造出了正确的“孵化器温度”，让一切教育过程都在这样的温度中进行。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:12

让•保罗 也曾谈到“播种”在教育中的作用，不过他又进一步说，教育的任务更多涉及温度的问题，而不是播种。他很认同苏格拉底的想法，即孩子们本来就具有某些能力，我们所起的只是接生婆的作用，也就是等待成长的时机，而这些时机是我们作为老师可以为孩子们创造的。这是我们作为教师所能做出的唯一贡献，但这并不会使我们的工作变得无足重轻，相反，这只会使我们的责任更为重大。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:19

在算数和数学中，要问的问题和在所有其他科目中是一样的，那就是“孩子们具备哪些东西？”而不是“社会要求我们向他们灌输哪些东西？”为了让孩子内在的特质呈现出来，我们必须遵循什么样的发展法则？换句话说，我们不是要创造某些东西，而是要发展已经有的东西。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:26

具体说来，我们要问的是，“数学已经在孩子们心中埋藏下了什么？要滋养这些已经存在的东西，我们要遵守什么样的规则？”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:32

我们很少去考虑孩子们心中已经存在的，却常常执着于我们认为孩子们以后应该是什么样的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:41

孩子位于起点，我们需要针对儿童的学习进行教学法方面的研究，而成人已经成熟，需要的是以职业和学科为导向的学习，然而主导教师整个思维方式的却往往是后者。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:47

我们应该更为关注起点和终点之间、儿童和青年之间这一阶段的发展和变化规律。我们试图不去触及“蜕变”（metamorphosis） 这一概念，因为这个概念很难理解，而当今职业世界中的一切都支持我们这样做。因此我们要做出真正的意志上的努力，以一种“源自儿童天性”的方式来组织数学教学。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:30:54

我们要避免不触及蜕变这一概念。这样说听起来有点绕口，然而这正是我们应该做的。就像数学中有一个众所周知的“负负得正”定理，我们要通过这样一种意志的努力，帮助孩子到达一个更高的“正”的水平。
作者: 爱无言    时间: 2011-10-20 09:32:50

像我这样一个不求上进的人，自从成为金牌会员之后，就再也没有野心——也没有动力——想要变“老”，不幸的 ...
莫兰 发表于 2011-10-20 09:18


是我吗？ 哈！看来逼你就出这么好的东西啊！{:1_114:}

不是我，我是从20变成80的。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:33:47

从下一章开始，就有好多图了。我把文字内容发上来，图呢，标明在原书的某一页，这样有原书的同学可以对照着看~
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:34:06

本帖最后由 莫兰 于 2011-10-20 09:35 编辑


作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:35:12

是我吗？ 哈！看来逼你就出这么好的东西啊！

不是我，我是从20变成80的。
爱无言 发表于 2011-10-20 09:32



可不就是你吗？哦，原来是20呀？我还以为是70呢呵呵~
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:35:42

第三章 数字的本质和秘密——精神数
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:35:51

在前一章中，我们谈到儿童的敏感期，谈到教学应针对儿童的具体发展阶段。儿童的发展基于感觉的发展，但不同时期以不同的感觉发展为重心，变化十分迅速。如果我们使用的教学材料符合这种发展的韵律，那我们将为孩子成长为完整的人做出无价的贡献。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:35:58

我们会说到“听感”或其他感觉，但通常我们并不用“思维感觉”这个词来描述人对思维的感觉。但如果真有这样一种感觉，在儿童表达出相应需求之前，我们要避免去使用它；如果我们开始使用它，也绝不是因为我们认为使用得越早越好。我们也从来不说“数学感觉”或“几何感觉”这一类的词，但如果真要说到这样的感觉，它未必一定与“思维感觉”相关，虽然很多数学书给我们的是这样一个印象。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:04

儿童生命中的很多迹象表明，的确存在所谓的数学感觉，而且这种感觉在孩子很小的时候就已经开始起作用了。然而，这种感觉似乎并不与“思维感觉”产生联系——如果的确存在“思维感觉”的话——因为数学感觉所体验的，并不是我们通常会在生活中用到的“量”，它所体验的，更多是“质”。如果仔细研究幼儿的身体表达，或研究数学的早期历史，我们就会明白这一点。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:10

很多证据表明，远古时代的人们认为，数学是一门关于“质”的科学。时至今日，这一点依然有迹可寻，例如我们相信幸运数字，而对另外某些数字则唯恐避之不及。在生活中，这种迷信司空见惯，而在抽奖之前，很多人都会去摇一摇彩票箱。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:16

所有这些都表明，一系列的数字并不是一排面目毫无二致的小士兵，每一个比前一个略大一些，而是许多个性鲜明的人儿连成一排。后者更多与我们的感觉有关。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:26

同样，对于古希腊人来说，每个数字都有鲜明的特点。6是一个尤其完美的数字，它可以除以 1、2 和 3，而 1、2、3 相加正好是 6。现代观点认为，6 也可以除以 6，但我们不把它算在内，这两个数字是一体，无法把一个分割成为另一个。所以说，6 的内容为
              1 + 2 + 3 = 6
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:36

它的内在价值与外显的表面价值是相等的，内在和外在呈现出完美的一致。下一个完全数是28，它的内容为
              1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:42

我们试着来找下一个完全数，如果到了500还没找着，就应该回头再仔细检查一遍，因为500比这个数字大了一点点 。然而，我们所经历的过程，与过去那些伟大数学家们为了寻找完全数而花费的时间和千辛万苦相比，实在算不了什么。举个例子吧，为了找到第5个完全数，什么样的努力没有做过呢？这个数字是33550366 。据说，来自希腊亚历山德里亚地区的数学家尼科马霍斯因为找不到这个数字而徒然悲叹：“善而美者寥若晨星，相隔邈远，屈指可数，恶而丑者却满目皆然。”
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:53

我们对数字的态度是多么不同啊！在我们的心目中，有美丽的完全数，也有丑陋的、不完美的数字。15是一个不完美数字，它的内容是9，它夸大了外在的表面值。16的内容是15，因此只夸大了一点点。24一点也没有夸大，它的内容为
             1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:36:59

这个数的价值一下子就显示出来了，同时它却是那么的朴实谦逊。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:09

数字360在很多场合中都扮演着重要的角色。从上文的观点来看，它的内在价值很高，而且蕴含着各种可能性。它的内容是810，我们可以用下面的分数来表示它的价值
            810/360 = 2.25
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:17

而数字24的价值为
           36/24 = 1.5
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:26

所有完全数的价值都是1。因此360一方面很重要，另一方面也不缺乏个性。相比之下，15 的值为
                9/15 = 0.6
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:32

在数学的历史中，这样的关系比比皆是。例如，几何中有柏拉图多面体之间的关系，希腊人把它们与宇宙及四大元素联系起来，并认为这些关系体现了两性之间的相互映照。总之，希腊人体会到，数字和形状的世界与人类心灵密切相关。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:38

儿童与数学中这些质的方面有着深厚的联系，就像人类早期思想中所体现的一样，但由于他们是孩子，他们无法用言语表述自己的体验，也无法把这些体验与柏拉图多面体或完全数等深奥的课题联系起来。然而他们看待事物的角度是一样的。因此我们可以说，他们从世界的同一个角落出发，只是在表达自己时用的是与其年龄相应的语言。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:37:45

因此，在教授数学之前，要试图在心中描绘出人类早期文明的图景，这是非常重要的。通过这样一种准备，我们才可能了解如何将孩子引入数字的王国。除此之外，我们要做的就是根据儿童在不同年龄阶段的能力发展来选择适当的教学材料。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:38:10

对于古希腊数学家来说，柏拉图多面体具有极其重要的作用。不仅仅是开普勒将它们放在同心球中，实际上，在整个古代，人们在体会柏拉图多面体时都会联系到球形的圆融一体。出于同样的宗旨，我们可以让孩子体验相对简单的正多边形及外接圆。开始的时候，不要超过3~6条边，这样孩子们在第一轮中可以轻松跟上，通过这样的体验，他们感觉数字之“质”的需求也可以得到满足。我们可以让他们画出以下图形：
（22页图）
作者: 爱无言    时间: 2011-10-20 09:38:16

可不就是你吗？哦，原来是20呀？我还以为是70呢呵呵~
莫兰 发表于 2011-10-20 09:35


70估计你也进不去，所以先恭喜你要变老！{:1_115:}

每天都来看我啊，哇！我好美滋滋的！
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:38:17

在五边形和六边形中，孩子们还可以画“星”，这样他们慢慢可以更轻松地画出规则的形状。此外，还可以通过颜色来突显数字之间的关系。相应的区域应涂上相应的颜色；否则这些图会显得滑稽可笑，从而背离我们的初衷。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:38:25

孩子们非常清楚，要让图形和谐美观，就要让各条边一样长，就像希腊人试图用正多边形搭出三维几何体时所发现的那样。他们所做的努力是一样的，就是要寻求一致的感官印象。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:38:38

让孩子们体验圆的连贯、一体和完整是非常重要的。一开始让他们徒手画圆，使用圆规还为时尚早。然后他们可以通过下面的方式来体验数字2：
（23页图）
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:38:43

在孩子们可以画出大而漂亮的圆之后，可以给他们一些坚果或栗子，让他们放在圆上。例如，我们可以给他们三枚坚果，然后请他们小心地放在圆上。“小心”的方式有很多种，不管是哪一种方式，我们都应该接受。不过，与此同时我们应该帮助他们，使摆放后的坚果将圆分为三个120°的部分，当然，我们不用说出这个词。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:08

然后我们可以用同样的方式摆放 4 个、5 个以及 6 个坚果。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:23

观察孩子们如何将圆分为，例如说，6 个部分时，我们可以看到他们沉醉在纯粹的数学工作中。此时所做的工作形成了成人数学思维的基础。让他们以不同方式取出6枚坚果中的3枚，有时他们会看到一个三角形的雏形突然显现出来，此时他们将体验到多么纯粹的快乐！
（24 页图）六枚坚果可以形成两个不同的三角形
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:36

三角形的尖尖可能朝上（很多孩子觉得这样最漂亮），也可能朝下。有的孩子看到的是尖朝上的漂亮三角形，面对同一个三角形，另一些孩子却看到尖尖朝着左下方，或朝着右下方。
（25页图）可以动的三角形
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:43

最后，有一个孩子发现，三角形可以动！他画的圆足够小，而他的手足够长，因此他可以用一只手的拇指和中指按住其中两枚坚果，用另一只手的无名指按住第三枚坚果。他惊喜的叫喊吸引了全班同学来看他如何转动三角形，看到三角形的尖尖从朝上的位置慢慢转到朝下的位置。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:49

如果亲自尝试一下，你就会明白孩子们为什么那么激动！在这个过程中，你必须站起来，你的手才不会扭在一起，因此当每个孩子都在尝试这样做时，班上会有些乱，但老师必须习惯于这种乱
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:39:56

在120度中蕴含着三角形的特质，可以唤起我们的和谐感。如果三个坚果被放在合适的位置上，我们会觉得很平衡，这种体验与圆形的大小无关。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:40:03

方形的体验是完全不同的，而五边形的体验又不一样。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:40:14

对于大多数孩子来说，六边形是非常特别的。先给孩子六个坚果，等他们放好之后，再给他们一把坚果，让他们排出两个相互交错的三角形。通常这会是一次深刻的体验。如果给了他们足够多的坚果，就会出现如下图所示的图形，它令孩子们惊叹不已。这个图形中有许多大小不一的三角形，如果孩子们试着让这些三角形变得大小相同，中间就会出现一个六边形。孩子们的双手、眼睛以及整个身体都在兴奋地忙碌着，动着，寻求着平衡。数学就是在这些活跃的动作中产生的。
（27页图）用坚果排成分布均匀的六角星
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:40:21

我们从一开始就要强调，这不是在宣扬古老的迷信，而是让算数和数学教学回到它所属的地方，即远离头脑的工作。这样做可以满足孩子最大的愿望之一——根据成长法则的需要，尽可能长久地停留在身体活动的世界里。
作者: 莫兰    时间: 2011-10-20 09:40:28

将4个坚果放在圆圈上。再加入4个坚果，分别放在原来的每两个坚果之间。用新的坚果排列出两个正方形。



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